Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{1}{\cos x-1} d x

Passo 1

O enunciado quer a primitiva (integral indefinida) e a fórmula geral da integral definida de
\int \frac{1}{\cos x - 1}\,dx.
Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois uma substituição para integrar a expressão resultante.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos x - 1 = -2\sin^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr),
então
\frac{1}{\cos x - 1} = \frac{1}{-2\sin^2(\tfrac{x}{2})} = -\frac12\,\csc^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).

Passo 3

Para integrar -\tfrac12\,\csc^2(x/2), fazemos a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad dx = 2\,du.
Assim
\int -\tfrac12\,\csc^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = \int -\tfrac12\,\csc^2(u)\cdot 2\,du = \int -\csc^2(u)\,du = \cot(u) + C = \cot\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.

Passo 4

Concluímos que a primitiva geral é
\int \frac{1}{\cos x - 1}\,dx = \cot\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.

Passo 5

Pela regra da integral definida, de a até b,
\int_{a}^{b} \frac{1}{\cos x - 1}\,dx = \Bigl[\cot\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]_{a}^{b} = \cot\!\Bigl(\frac{b}{2}\Bigr) \;-\;\cot\!\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr),
desde que \sin(a/2)\neq0 e \sin(b/2)\neq0 para evitar descontinuidade.

Resposta

Integral indefinida: \displaystyle \int \frac{1}{\cos x - 1}\,dx = \cot\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C. Integral definida de a até b: \displaystyle \int_{a}^{b}\frac{1}{\cos x -1}\,dx = \cot\!\Bigl(\frac{b}{2}\Bigr)-\cot\!\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr).

Exercícios relacionados