Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{1-\tan ^{2} x}{\operatorname{sec} ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1 - \tan^{2}x}{\operatorname{sec}^{2}x}\,dx
O conteúdo aqui é manipular identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois aplicar a antiderivada de uma função trigonométrica simples.

Passo 2

Reescrevemos tudo em termos de seno e cosseno. Primeiro, lembramos que
\tan^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \quad\text{e}\quad \operatorname{sec}^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}.
Logo,
\frac{1 - \tan^{2}x}{\operatorname{sec}^{2}x} = (1 - \tan^{2}x)\,\cos^{2}x = \bigl(1 - \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\bigr)\cos^{2}x.

Passo 3

Ao multiplicar pelo \cos^{2}x, obtemos
\bigl(1 - \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\bigr)\cos^{2}x = \cos^{2}x - \sin^{2}x.
Mas sabemos que
\cos2x = \cos^{2}x - \sin^{2}x.
Portanto o integrando se reduz a \cos2x.

Passo 4

A integral fica
\int \cos2x \,dx.
Usamos a antiderivada de \cos(kx):
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C.
Aqui k=2, então
\int \cos2x\,dx = \frac{1}{2}\sin2x + C.

Resposta

\frac{1}{2}\sin2x + C.

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