Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \operatorname{sen}(5 \theta) \operatorname{sen}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(5\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta.
O conteúdo principal é usar a identidade trigonométrica de produto para soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin A\,\sin B = \tfrac12\bigl[\cos(A - B) - \cos(A + B)\bigr]
com A=5\theta e B=\theta. Assim,
\sin(5\theta)\,\sin(\theta) = \tfrac12\bigl[\cos(5\theta-\theta)-\cos(5\theta+\theta)\bigr] = \tfrac12\bigl[\cos(4\theta)-\cos(6\theta)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \sin(5\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta = \tfrac12\int\bigl[\cos(4\theta)-\cos(6\theta)\bigr]d\theta = \tfrac12\Bigl(\int\cos(4\theta)\,d\theta - \int\cos(6\theta)\,d\theta\Bigr).
Agora integramos cada termo:
\int\cos(4\theta)\,d\theta = \tfrac1{4}\sin(4\theta), \quad \int\cos(6\theta)\,d\theta = \tfrac1{6}\sin(6\theta).

Passo 4

Reunindo e simplificando,
\int \sin(5\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta = \tfrac12\Bigl(\tfrac1{4}\sin(4\theta)-\tfrac1{6}\sin(6\theta)\Bigr)+C = \tfrac1{8}\sin(4\theta)-\tfrac1{12}\sin(6\theta)+C.

Resposta

\int \sin(5\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta = \tfrac1{8}\sin(4\theta)-\tfrac1{12}\sin(6\theta)+C.

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