Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \tan ^{5} \theta \operatorname{sec} ^{7} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a antiderivada de
\int \tan^5\theta \,\operatorname{sec}^7\theta \,d\theta
ou seja, uma integral indefinida de uma potência ímpar de \tan\theta e de \operatorname{sec}\theta. Para isso, vamos usar a substituição típica em que isolamos um fator \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e escrevemos potências pares de \tan\theta em função de \operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Separe um fator \tan\theta\operatorname{sec}\theta\,d\theta para a substituição e escreva o restante em potências de \operatorname{sec}\theta:
\tan^5\theta\,\operatorname{sec}^7\theta = \bigl(\tan^4\theta\bigr)\,(\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta)\,\operatorname{sec}^6\theta.

Passo 3

Use a identidade \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1 para reescrever \tan^4\theta = (\tan^2\theta)^2:
\tan^4\theta = (\operatorname{sec}^2\theta - 1)^2 = \operatorname{sec}^4\theta \;-\;2\operatorname{sec}^2\theta\;+\;1.
Logo o integrando fica
(\operatorname{sec}^4\theta - 2\operatorname{sec}^2\theta +1)\;(\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta)\;\operatorname{sec}^6\theta = (\operatorname{sec}^{10}\theta -2\operatorname{sec}^8\theta +\operatorname{sec}^6\theta)\,\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Agora fazemos a substituição
u = \operatorname{sec}\theta, \qquad du = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta.
Com isso
\int \tan^5\theta\,\operatorname{sec}^7\theta\,d\theta = \int (\operatorname{sec}^{10}\theta -2\operatorname{sec}^8\theta +\operatorname{sec}^6\theta)\,\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int (u^{10}-2u^8+u^6)\,du.

Passo 5

Integre termo a termo em u:
\int (u^{10}-2u^8+u^6)\,du = \frac{u^{11}}{11} \;-\;2\;\frac{u^9}{9} \;+\;\frac{u^7}{7} + C.

Passo 6

Volte à variável \theta com u=\operatorname{sec}\theta:
\int \tan^5\theta\,\operatorname{sec}^7\theta\,d\theta = \frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11} \;-\;\frac{2\operatorname{sec}^{9}\theta}{9} \;+\;\frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7} + C.

Resposta

Indefinida:
\boxed{ \int \tan^5\theta\,\operatorname{sec}^7\theta\,d\theta = \frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11} - \frac{2\,\operatorname{sec}^{9}\theta}{9} + \frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7} + C }.
Definida de \theta=\alpha a \theta=\beta:
\int_{\alpha}^{\beta}\tan^5\theta\,\operatorname{sec}^7\theta\,d\theta =\left[\frac{\operatorname{sec}^{11}\theta}{11} - \frac{2\,\operatorname{sec}^{9}\theta}{9} + \frac{\operatorname{sec}^{7}\theta}{7}\right]_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta}.

Exercícios relacionados