Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{\pi / 2} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \cos x \, dx
e a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx.
Para isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = \cos x \, dx.
Então
du = dx,\quad v = \int \cos x \, dx = \sin x.
Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
\int x \cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x + \cos x + C.
Portanto a integral indefinida é
\int x \cos x \, dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 4

Para a integral definida de 0 a \pi/2, usamos a antiderivada
F(x) = x\sin x + \cos x.
Calculamos
F\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{2}\cdot 1 + \cos\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2},
F(0) = 0\cdot 0 + \cos 0 = 1.

Passo 5

Logo,
\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx = F\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) - F(0) = \frac{\pi}{2} - 1.

Resposta

Integral indefinida:
\int x \cos x \, dx = x\sin x + \cos x + C.
Integral definida:
\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1.

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