Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) de
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx
e depois avaliar a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é transformar a integral numa forma de Beta (ou função incompleta de Beta) por meio da substituição t = x^{4}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad dt = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{4}\,t^{-\tfrac14}\,dt.
Também
\sqrt{1 - x^{4}} = (1 - t)^{\tfrac12}.
Assim a integral indefinida vira
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \int \frac{\tfrac14\,t^{-\tfrac14}\,dt}{(1-t)^{\tfrac12}} = \frac{1}{4}\,\int t^{-\tfrac14}\,(1 - t)^{-\tfrac12}\,dt.
Esse é o integral de uma função do tipo t^{a-1}(1-t)^{b-1}, cuja primitiva em termos da função incompleta de Beta é
\frac{1}{4}\,B\bigl(t;\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr)+C \;=\; \frac{1}{4}\,\int_{0}^{t} u^{\tfrac{3}{4}-1}\,(1-u)^{\tfrac{1}{2}-1}\,du + C.
Voltando a x, obtemos
\boxed{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \frac{1}{4}\,B\bigl(x^{4};\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr) + C. }

Passo 3

Para a integral definida, usamos o resultado da primitiva em 0 e em 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \left[\frac{1}{4}\,B\bigl(x^{4};\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\,B\bigl(1;\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr) - \frac{1}{4}\,B\bigl(0;\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr).
Como B(0;a,b)=0 e B(1;a,b)=B(a,b) (função Beta completa), resulta
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \frac{1}{4}\,B\bigl(\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr).
Usando a relação
B\bigl(\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{\Gamma(\tfrac{3}{4})\,\Gamma(\tfrac{1}{2})}{\Gamma(\tfrac{5}{4})}, \quad \Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{\pi}, \quad \Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)=\tfrac{1}{4}\,\Gamma(\tfrac{1}{4}),
temos
\frac{1}{4}\,B\bigl(\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{1}{4}\,\cdot \frac{\Gamma(\tfrac{3}{4})\,\sqrt{\pi}}{\tfrac{1}{4}\,\Gamma(\tfrac{1}{4})} = \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})}{\Gamma(\tfrac{1}{4})}.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \frac{1}{4}\,B\bigl(x^{4};\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr) + C, \quad \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)}.

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