Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração por partes e, em seguida, o cálculo de \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx, usando a identidade x^{2}=(x^{2}+1)-1.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr), \quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx, \quad v = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int x \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \int \frac{x^{2}}{2}\,\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Isto é,
\int x \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \frac{1}{2}\,\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.

Passo 4

Calculemos
I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Usamos
\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr),
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}} = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Logo
I = \Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr] - \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).

Passo 5

Substituindo em (3):
\int x \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \frac{1}{2}\,I + C
= \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr]+C
= \frac{2x^{2}+1}{4}\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \frac{x}{4}\sqrt{x^{2}+1}+C.

Resposta

\boxed{ \int x \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \frac{2x^{2}+1}{4}\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \frac{x}{4}\sqrt{x^{2}+1} + C }.

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