Calcule as integrais indefinidas
integral d xx^2(x^2+1)

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral dxx^2(x^2+1). Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a dividir a fração original em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da expressão: x^2(x^2 + 1). Agora, queremos expressar a fração 1x^2(x^2+1) como uma soma de frações mais simples com denominadores menores.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
1x^2(x^2 +1) = Ax + Bx^2 + C x + Dx^2 +1
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x^2 +1) para eliminar os denominadores:
1 = A x (x^2 +1) + B (x^2 +1) + (C x + D) x^2

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar os termos:
1 = A x^3 + A x + B x^2 + B + C x^3 + D x^2
Reorganizando os termos, temos:
1 = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + A x + B

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos de cada potência de x em ambos os lados da equação:
A + C = 0 B + D = 0 A = 0 B = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da terceira equação, A = 0.
  • Substituindo A = 0 na primeira equação, temos C = 0.
  • Da quarta equação, B = 1.
  • Substituindo B = 1 na segunda equação, temos D = -1.

Passo 8

Substituímos os valores encontrados de A, B, C e D na expressão das frações parciais:
1x^2(x^2 +1) = 0x + 1x^2 + 0 cdot x -1x^2 +1 = 1x^2 - 1x^2 +1

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral dxx^2 - integral dxx^2 +1 = -1x - tan^-1(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é -1x - tan^-1(x) + C.

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