Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral indefinida de $ 2x^{3} \cos(x^{2}) , dx $. Esse tipo de integral envolve técnicas de integração por substituição e por partes. Vamos precisar usar essas duas ferramentas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando uma substituição. Observe que a expressão dentro do cosseno é $ x^{2} $, então vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Temos:
Podemos separar $ x^{3} $ como $ x^{2} \cdot x $, então:
Substituindo $ u = x^{2} $ e $ du = 2x , dx $, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
A integral de $ \sin(u) $ é $ -\cos(u) $, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos voltar para a variável original $ x $ substituindo $ u = x^{2} $:
Isso nos dá a solução final da integral.
Resposta
A integral indefinida é: