Calcule as integrais indefinidas
integral 2 x^3 cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de $ 2x^{3} \cos(x^{2}) , dx $. Esse tipo de integral envolve técnicas de integração por substituição e por partes. Vamos precisar usar essas duas ferramentas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando uma substituição. Observe que a expressão dentro do cosseno é $ x^{2} $, então vamos definir:
x^2
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = x^2
Isso significa que:
u

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Temos:
integral 2x^3 cos(x^2) , dx
Podemos separar $ x^{3} $ como $ x^{2} \cdot x $, então:
x^3
Substituindo $ u = x^{2} $ e $ du = 2x , dx $, a integral fica:
x^2 cdot x

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u cos(u) , du
Vamos escolher:
integral f , dg = fg - integral g , df
f = u Rightarrow df = du
Aplicando a fórmula:
dg = cos(u) , du Rightarrow g = sin(u)
A integral de $ \sin(u) $ é $ -\cos(u) $, então:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original $ x $ substituindo $ u = x^{2} $:
x
Isso nos dá a solução final da integral.

Resposta

A integral indefinida é:
integral 2x^3 cos(x^2) , dx = x^2 sin(x^2) + cos(x^2) + C

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