Calcule as integrais indefinidas
l) integral(3 x+5)^-2 d x R:-1(3 x+5)^3+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição, que é útil quando temos funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar de u = 3x + 5 o que está dentro do parênteses:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a dx = du3 para substituir :
Então, isolando :

Passo 4

Substituímos integral(3x + 5)^-2 , dx = integralu^-2 cdot du3 = 13 integralu^-2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integralu^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integralu^-2 , du = u^-1-1 + C = -u^-1 + C . A regra básica de integração para é:
No nosso caso, :

Passo 6

Voltamos à variável original -u^-1 + C = -1u + C = -13x + 5 + C substituindo de volta na expressão:

Passo 7

Lembre-se que multiplicamos por 13 (-13x + 5) + C = -13(3x + 5) + C no Passo 4, então aplicamos isso ao resultado:

Passo 8

Finalmente, simplificamos a expressão:
-13(3x + 5) + C = -1(3x + 5)^2 + C

Resposta

A integral indefinida é .

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