Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: y=x^2, x=y^2 ; em torno de y=1.

Passo 1

Aqui a gente tem que achar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x² e x = y² ao redor da reta y = 1. O tema é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos anelares. Para isso, vamos precisar encontrar a região de integração, escolher o método e montar a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, determinamos onde as curvas se interceptam. Temos y = x² e x = y². Substituindo y = x² em x = y², vem:
x = (x^2)^2 = x^4
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x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1)=0 implies x=0 ou x=1

Passo 3

Os pontos correspondentes são (0,0) e (1,1), e para 0≤x≤1 a região é dada entre
yinf=x^2e ysup=raizx

Passo 4

Como vamos girar em torno de y = 1 (reta horizontal), usamos o método dos discos anelares integrando em x de 0 a 1:
V = pi integral0^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r] , dx

Passo 5

Precisamos achar o raio externo (distância de y=1 até a curva mais baixa y=x²) e o interno (até a curva mais alta y=√x):
R(x) = 1 - x^2,
r(x) = 1 - raizx

Passo 6

Então o integrando fica:
(1 - x^2)^2 - (1 - raizx)^2 = 1 - 2x^2 + x^4 - l(1 - 2raizx + xr) = 2raizx - x - 2x^2 + x^4

Passo 7

Agora só integrar termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 2x^1/2 , dx = 43,
integral0^1 (-x) , dx = -12,
integral0^1 (-2x^2) , dx = -23,
integral0^1 x^4 , dx = 15

Passo 8

Somando tudo:
43 - 12 - 23 + 15 = 1130

Passo 9

Multiplicando por π, concluímos que o volume do sólido é 11pi30

Resposta

V = 11pi30

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