Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados:
em torno de
.
Passo 1
Aqui a gente tem que achar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x² e x = y² ao redor da reta y = 1. O tema é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos anelares. Para isso, vamos precisar encontrar a região de integração, escolher o método e montar a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, determinamos onde as curvas se interceptam. Temos y = x² e x = y². Substituindo y = x² em x = y², vem:
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Passo 3
Os pontos correspondentes são (0,0) e (1,1), e para 0≤x≤1 a região é dada entre
Passo 4
Como vamos girar em torno de y = 1 (reta horizontal), usamos o método dos discos anelares integrando em x de 0 a 1:
Passo 5
Precisamos achar o raio externo (distância de y=1 até a curva mais baixa y=x²) e o interno (até a curva mais alta y=√x):
Passo 6
Então o integrando fica:
Passo 7
Agora só integrar termo a termo de 0 a 1:
Passo 8
Somando tudo:
Passo 9
Multiplicando por π, concluímos que o volume do sólido é