Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: y=ln x, y=1, y=2, x=0 ; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por y=ln x, y=1, y=2 e x=0. O tema é cálculo de volumes de revolução, e vamos usar o método dos discos (fatias horizontais).

Passo 2

Para aplicar discos, expressamos a fronteira curva como x em função de y. Da equação y=ln x temos
x=e^y

Passo 3

Em cada valor de y entre 1 e 2, a região gira formando um disco de raio externo R(y)=e^y (não há furo interno porque começa em x=0). A área desse disco é
A(y)=pil(R(y)r)^2=pi e^2y

Passo 4

O volume é então a integral de A(y) de y=1 a y=2:
V=integral1^2pi e^2y,dy

Passo 5

Basta calcular a integral:
V=piintegral1^2e^2y,dy=pi[e^2y2]1^2=pi2l(e^4-e^2r)

Resposta

V=pi2l(e^4-e^2r)

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