Calcule as integrais indefinidas
integral arctag(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de arctag(x). Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de uma função que envolve a função arco-tangente, que provavelmente foi escrita como arctag(x), mas na verdade é arctan(x). Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes.

Passo 2

Para integrar integral arctan(x) , dx, vamos usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica ao derivarmos e dv como a parte que é fácil de integrar.
Vamos definir:
u = arctan(x) e dv = dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v.
Primeiro, derivamos u:
du = ddx arctan(x) , dx = 11 + x^2 , dx
Em seguida, integramos dv para encontrar v:
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arctan(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arctan(x) , dx = arctan(x) cdot x - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral x cdot 11 + x^2 , dx = integral x1 + x^2 , dx
Essa integral pode ser resolvida por uma simples substituição. Vamos definir:
w = 1 + x^2 Rightarrow dw = 2x , dx Rightarrow dw2 = x , dx
Então, a integral fica:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - ( 12 ln(1 + x^2) ) + C

Resposta

integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

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