Calcule as integrais indefinidas
integral 3 x^2+2 x+1(x+1)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral indefinida de 3x^2 + 2x + 1(x + 1)(x^2 + 1) dx. A gente vai utilizar frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e montar as frações parciais adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos integrar:
3x^2 + 2x + 1(x + 1)(x^2 + 1)
Notamos que o denominador é um produto de fatores lineares (x + 1) e quadráticos (x^2 + 1), que não podem ser fatorados mais. Isso nos indica que vamos usar frações parciais para decompor essa expressão.

Passo 3

Vamos supor que a fração pode ser escrita como:
3x^2 + 2x + 1(x + 1)(x^2 + 1) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar. A ideia é que cada termo do lado direito seja mais fácil de integrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x + 1)(x^2 + 1):
3x^2 + 2x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)

Passo 5

Agora, expandimos os termos do lado direito:
3x^2 + 2x + 1 = A x^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Agrupando os termos semelhantes:
3x^2 + 2x + 1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
A + B = 3 B + C = 2 A + C = 1
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B e C.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: A = 1 - C
  2. Substituindo A na primeira equação: (1 - C) + B = 3 B - C = 2
  3. Da segunda equação: B + C = 2
Agora temos:
B - C = 2 B + C = 2
Somando as duas equações: 2B = 4 B = 2
Substituindo B = 2 na segunda equação: 2 + C = 2 C = 0
E de A = 1 - C: A = 1

Passo 8

Agora que temos A = 1, B = 2 e C = 0, retornamos à decomposição das frações parciais:
3x^2 + 2x + 1(x + 1)(x^2 + 1) = 1x + 1 + 2xx^2 + 1

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1x + 1 dx + integral 2xx^2 + 1 dx
Vamos resolver cada integral.

Passo 10

Primeira integral:
integral 1x + 1 dx = ln|x + 1| + C1
Segunda integral:
Para integral 2xx^2 + 1 dx, fazemos a substituição u = x^2 + 1, então du = 2x dx:
integral 2xx^2 + 1 dx = integral 1u du = ln|u| + C2 = ln|x^2 + 1| + C2

Passo 11

Juntando as duas integrais e as constantes:
ln|x + 1| + ln|x^2 + 1| + C
Como x^2 + 1 é sempre positivo, podemos simplificar:
ln(x + 1) + ln(x^2 + 1) + C
Ou ainda:
ln((x + 1)(x^2 + 1)) + C

Resposta

A integral indefinida é:
ln(x + 1) + ln(x^2 + 1) + C
ou, de forma simplificada,
ln((x + 1)(x^2 + 1)) + C

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