Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral indefinida de . A gente vai utilizar frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e montar as frações parciais adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que queremos integrar:
Notamos que o denominador é um produto de fatores lineares e quadráticos , que não podem ser fatorados mais. Isso nos indica que vamos usar frações parciais para decompor essa expressão.
Passo 3
Vamos supor que a fração pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar. A ideia é que cada termo do lado direito seja mais fácil de integrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 5
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B e C.
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: A = 1 - C
Substituindo A na primeira equação: (1 - C) + B = 3 → B - C = 2
Da segunda equação: B + C = 2
Agora temos:
B - C = 2 B + C = 2
Somando as duas equações: 2B = 4 → B = 2
Substituindo B = 2 na segunda equação: 2 + C = 2 → C = 0
E de A = 1 - C: A = 1
Passo 8
Agora que temos A = 1, B = 2 e C = 0, retornamos à decomposição das frações parciais: