Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral indefinida
. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções compostas, como logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja
. Agora, precisamos descobrir como
se relaciona com
.
Sabemos que se
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que:
Mas como
, podemos escrever
. Então:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Então, a integral ficou mais simples: precisamos calcular
.
Passo 4
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar
e
na nossa integral:
- Seja
, então: -
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
.
Passo 6
Vamos resolver a nova integral
novamente usando integração por partes. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos
de ambos os lados:
Então, isolando a integral:
Passo 9
Agora, voltamos à nossa substituição original. Lembramos que
, então substituímos de volta:
Como
, podemos simplificar:
Resposta
A integral indefinida é: