Calcule as integrais indefinidas
integral cos (ln (x)) d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida integral cos (ln (x)) , dx. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções compostas, como logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja u = ln(x). Agora, precisamos descobrir como dx se relaciona com du.
Sabemos que se u = ln(x), então derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = 1x
Isso significa que:
du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du
Mas como u = ln(x), podemos escrever x = e^u. Então:
dx = e^u , du

Passo 3

Agora, substituímos u = ln(x) e dx = e^u , du na integral original:
integral cos(ln(x)) , dx = integral cos(u) cdot e^u , du
Então, a integral ficou mais simples: precisamos calcular integral e^u cos(u) , du.

Passo 4

Para resolver a integral integral e^u cos(u) , du, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar u e dv na nossa integral:
  • Seja f(u) = e^u, então:
    • u = e^u
    • dv = cos(u) , du
Calculando du e v:
du = e^u , du
v = integral cos(u) , du = sin(u)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) - integral sin(u) cdot e^u , du
Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^u sin(u) , du.

Passo 6

Vamos resolver a nova integral integral e^u sin(u) , du novamente usando integração por partes. Desta vez, escolhemos:
  • u1 = e^u
  • dv1 = sin(u) , du
Calculando du1 e v1:
du1 = e^u , du
v1 = integral sin(u) , du = -cos(u)

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^u sin(u) , du = -e^u cos(u) - integral (-cos(u)) cdot e^u , du
Simplificando:
integral e^u sin(u) , du = -e^u cos(u) + integral e^u cos(u) , du

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) - ( -e^u cos(u) + integral e^u cos(u) , du )
Simplificando:
integral e^u cos(u) , du = e^u sin(u) + e^u cos(u) - integral e^u cos(u) , du
Agora, somamos integral e^u cos(u) , du de ambos os lados:
2 integral e^u cos(u) , du = e^u (sin(u) + cos(u))
Então, isolando a integral:
integral e^u cos(u) , du = e^u (sin(u) + cos(u))2

Passo 9

Agora, voltamos à nossa substituição original. Lembramos que u = ln(x), então substituímos de volta:
integral cos(ln(x)) , dx = e^ln(x) (sin(ln(x)) + cos(ln(x)))2 + C
Como e^ln(x) = x, podemos simplificar:
integral cos(ln(x)) , dx = x (sin(ln(x)) + cos(ln(x)))2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos (ln (x)) , dx = x2 [ sin (ln (x)) + cos (ln (x)) ] + C

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