Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função
onde é medido em horas a partir da meia-noite e medido em metros a partir do nível do mar. Com base no texto acima encontre o que se pede:
Determine o período da função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as marés e dá uma função que descreve a altura da maré ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir o período dessa função, ou seja, quanto tempo leva para que a maré repita o seu ciclo completo de subida e descida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções periódicas e como identificar o período delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é chamada de periódica quando ela se repete em intervalos regulares ao longo do tempo. O período é o intervalo de tempo necessário para que a função complete um ciclo completo e comece a se repetir. No nosso caso, queremos saber quanto tempo leva para a altura da maré voltar a um mesmo valor após um ciclo completo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dada:
Aqui, representa a altura da maré em metros e é o tempo em horas a partir da meia-noite. A função é uma combinação de uma constante (4 metros) e uma função cosseno com alguns coeficientes. O que nos interessa para encontrar o período é a parte que envolve o cosseno, ou seja, .
Passo 4
Sabemos que a função cosseno padrão, , tem um período de . Mas quando a função é modificada para , o período muda. A fórmula para encontrar o período de uma função cosseno modificada é:
onde é o coeficiente que está multiplicando a variável dentro do cosseno.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função. Na função , o coeficiente é . Então, substituindo na fórmula: