Considera a tabela de observações com valores de uma função f(t) (que representa o consumo de água numa cidade no período t, ou a demanda por um produto no período t) t=0, ldots, 4. Desejados prever o futuro, isto é, determinar o valor de f(5).
t 0 1 2 3 4
f(t) 11,0 10,5 10,3 10,2 10,0
Considere duas estratégias para prever o valor de f em t+1 :
a) Interpole a função f nos últimos dois períodos t-1 e t (obtenha, portanto, uma reta) e use o polinômio interpolador apra prever f(t+1).
b) Ajuste uma reta, pelo método dos mínimos quadrados, nos três últimos períodos t-2, t-1 e t, e use a reta ajustada para prever f(t+1). Para avaliar as estratégias, considere t+1=4, use as duas estratégias para preveer f(4) e compare com o valor já observado f(4)=10,0. Qual das duas estratégias apresentou melhor resultado? Escolha a estratégia que apresentou o resultado melhor e utilize-a para prever f(5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede pra gente prever o valor de , que representa o consumo de água ou a demanda de um produto numa cidade no período . Temos uma tabela com os valores de para até . A gente tem duas estratégias para fazer essa previsão:
a) Interpolação: Usar os dois últimos períodos ( e ), traçar uma reta entre esses pontos e prever o próximo valor.
b) Método dos Mínimos Quadrados: Ajustar uma reta usando os três últimos períodos ( , e ) e usar essa reta para prever o próximo valor.
Além disso, a gente vai testar as duas estratégias para prever e ver qual delas deu mais certinho, pra então usar a melhor para prever .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Estratégia a) para prever y = y1 + y2 - y1x2 - x1 (x - x1) . Essa estratégia usa os dois últimos pontos disponíveis, que são y = 10,3 + 10,2 - 10,33 - 2 (4 - 2) = 10,3 + (-0,1)(2) = 10,3 - 0,2 = 10,1 e .
Mas espera aí! O exercício pediu pra) interpolar e prever , mas para testar a estratégia, vamos prever usando os pontos e .
Então, os pontos que vamos usar são:
  • ,
  • ,
Vamos traçar uma reta entre esses dois pontos e ver qual valor ela dá em .
A fórmula da reta entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:
Então, a previsão usando a estratégia a) é .

Passo 3

Agora, vamos para a Estratégia b), que usa o método dos mínimos quadrados com os três últimos pontos: sum t &= 1 + 2 + 3 = 6 sum f(t) &= 10,5 + 10,3 + 10,2 = 31,0 sum t^2 &= 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 sum t f(t) &= (1)(10,5) + (2)(10,3) + (3)(10,2) = 10,5 + 20,6 + 30,6 = 61,7 n &= 3 , a = n sum t f(t) - sum t sum f(t)n sum t^2 - (sum t)^2 e b = sum f(t) - a sum tn .
Os pontos são:
  • a = 3 times 61,7 - 6 times 31,03 times 14 - 6^2 = 185,1 - 18642 - 36 = -0,96 = -0,15 , b = 31,0 - (-0,15) times 63 = 31,0 + 0,93 = 31,93 approx 10,6333
  • y = -0,15 t + 10,6333 , f(4) = -0,15 times 4 + 10,6333 = -0,6 + 10,6333 = 10,0333
  • ,
O método dos mínimos quadrados encontra a melhor reta que se ajusta a esses pontos. A equação da reta é , onde precisamos encontrar e .
Primeiro, calculamos as somas necessárias:
Agora, as fórmulas para e são:
Calculando :
Calculando :
Então, a equação da reta ajustada é:
Agora, para prever :
Arredondando, temos .

Passo 4

Vamos comparar as previsões com o valor real de :
  • Estratégia a): → Erro =
  • Estratégia b): → Erro =
A Estratégia b) teve um erro menor ( ) comparado à Estratégia a) ( ).
Então, a estratégia b) é a melhor!

Passo 5

Agora que sabemos que a Estratégia b) é a melhor, vamos usá-la para prever y = -0,15 t + 10,6333 .
Usando a reta ajustada:
f(5) = -0,15 times 5 + 10,6333 = -0,75 + 10,6333 = 9,8833
Calculando para :
Arredondando, temos .

Resposta

A previsão de é aproximadamente 9,88.

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