Aplique o método de séries de potências para o seguinte problema:
y^prime prime+y=ln (x+1), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial assim:
y'' + y = ln (x+1), y(0)=0, y'(0)=0
O objetivo é resolver essa equação usando o método de séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução como uma série de potências em . Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas de séries e como manipular séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Daí, precisamos encontrar as derivadas de y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 :

Passo 3

Agora, vamos substituir y'' + y = ln(x+1) e sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + sumn=0^infty an x^n = ln(x+1) na equação diferencial:
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m + sumn=0^infty an x^n = ln(x+1)
Então, temos:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty an x^n = ln(x+1)
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de . No primeiro somatório, fazemos :
Renomeando para :

Passo 4

Agora, juntamos os somatórios:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + an ] x^n = ln(x+1)
A gente sabe que ln(x+1) = sumn=1^infty (-1)^n+1n x^n também pode ser expandida como uma série de potências:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes das potências de (n+2)(n+1) an+2 + an = 0 Rightarrow 2 cdot 1 cdot a2 + a0 = 0 dos dois lados da equação:
Para (n+2)(n+1) an+2 + an = (-1)^n+1n :
Para :

Passo 6

Agora, precisamos resolver essas relações para encontrar os coeficientes 2a2 + a0 = 0 Rightarrow a2 = -a02 . Começando com y(0) = a0 = 0 :
3 cdot 2 cdot a3 + a1 = (-1)^21 = 1 Rightarrow 6a3 + a1 = 1
Sabemos que 6a3 = 1 Rightarrow a3 = 16 , então substituindo na série de :
Então, .
Para :
Sabemos que , que é . Então:

Passo 7

Vamos continuar encontrando mais coeficientes:
Para 4 cdot 3 cdot a4 + a2 = (-1)^32 = -12 Rightarrow 12a4 + 0 = -12 Rightarrow a4 = -124 :
5 cdot 4 cdot a5 + a3 = (-1)^43 = 13 Rightarrow 20a5 + 16 = 13 Rightarrow 20a5 = 13 - 16 = 16 Rightarrow a5 = 1120
Para :
E assim por diante. Vamos parando por aqui para termos uma boa aproximação.

Resposta

A solução da equação diferencial usando séries de potências é aproximada por:
y(x) = 0 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 + 16 x^3 - 124 x^4 + 1120 x^5 + dots
Ou seja,
y(x) = 16 x^3 - 124 x^4 + 1120 x^5 + dots

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