Aplique o método de séries de potências para o seguinte problema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial assim:
O objetivo é resolver essa equação usando o método de séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma série de potências em
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas de séries e como manipular séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Daí, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Então, temos:
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
. No primeiro somatório, fazemos
:
Renomeando
para
:
Passo 4
Agora, juntamos os somatórios:
A gente sabe que
também pode ser expandida como uma série de potências:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes das potências de
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essas relações para encontrar os coeficientes
. Começando com
:
Sabemos que
, então substituindo
na série de
:
Então,
.
Para
:
Sabemos que
, que é
. Então:
Passo 7
Vamos continuar encontrando mais coeficientes:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Vamos parando por aqui para termos uma boa aproximação.
Resposta
A solução da equação diferencial usando séries de potências é aproximada por:
Ou seja,