Considere as parametrizações
(a) Quais parametrizações possuem o mesmo traço?
(b) Quais parametrizações possuem traços fechados?
© Quais parametrizações determinam curvas fechadas?
(d) Dentre as curvas fechadas, quais possuem o mesmo sentido?
(e) Dentre as curvas fechadas, quais possuem o mesmo ponto inicial?
(f) Dentre as curvas fechadas, quais o mesmo número de voltas?
(g) Quais parametrizações determinam a mesma curva?
(b) Quais parametrizações possuem traços fechados?
© Quais parametrizações determinam curvas fechadas?
(d) Dentre as curvas fechadas, quais possuem o mesmo sentido?
(e) Dentre as curvas fechadas, quais possuem o mesmo ponto inicial?
(f) Dentre as curvas fechadas, quais o mesmo número de voltas?
(g) Quais parametrizações determinam a mesma curva?
Passo 1
O enunciado fornece várias parametrizações de arcos e voltas no círculo de raio 1 no plano, nomeadas de A até J, e pede para identificarmos para cada item (a)–(g) quais delas têm o mesmo traço, quais traços são fechados, quais curvas são fechadas (F(a)=F(b)), sentidos, ponto inicial, número de voltas e, por fim, quais são reparametrizações umas das outras. Vamos usar teoria de curvas planas: traço é a imagem no plano, curva fechada significa que F(a)=F(b), o sentido (sentido de percor
adrimento) vem do sinal do determinante (aqui basta verificar a derivada em t=0), número de voltas é quantas vezes o parâmetro percorre 2π radianos, e duas parametrizações determinam a mesma curva se diferem por um difeomorfismo de parâmetro.
adrimento) vem do sinal do determinante (aqui basta verificar a derivada em t=0), número de voltas é quantas vezes o parâmetro percorre 2π radianos, e duas parametrizações determinam a mesma curva se diferem por um difeomorfismo de parâmetro.
Passo 2
Para cada parametrização F(t)=(cos(n t+φ),±sin(n t+φ)) com intervalo [α,β], seu traço é ou parte do círculo unitário (se n=1 e β–α<2π) ou o círculo inteiro (se n≠0 e |n|(β–α)≥2π). Assim agrupamos para (a): A e I têm traço semicircular (t∈[0,π] em cos
t,sin
t) e B, C, D, E, F, G, H, J têm traço igual ao círculo completo.
t,sin
t) e B, C, D, E, F, G, H, J têm traço igual ao círculo completo.
Passo 3
Traços fechados (loop geométrico) ocorrem sempre que a imagem é o círculo completo, independentemente de F(a)=F(b). Isso dá para (b): B, C, D, E, F, G, H, J.
Passo 4
Curvas fechadas (F(a)=F(b)) exigem que o parâmetro volte ao mesmo ponto inicial. Calculando F(0) e F(end) vemos que somente B, D, E, F, G, H, J satisfazem F(0)=F(b). Isso responde ©.
Passo 5
Para (d), avaliamos o sentido no círculo: todas as parametrizações com cos
(n t),sin
(n t) têm sentido anti‐horário (CCW) se n>0 e sin for positivo; no caso E (y=−sin
t) a curva percorre o círculo no sentido horário (CW). Logo CCW: B, D, F, G, H, J; CW: E.
(n t),sin
(n t) têm sentido anti‐horário (CCW) se n>0 e sin for positivo; no caso E (y=−sin
t) a curva percorre o círculo no sentido horário (CW). Logo CCW: B, D, F, G, H, J; CW: E.
Passo 6
O ponto inicial em t=0 para todas as curvas fechadas B, D, E, F, G, H, J é (cos
0,sin
0)=(1,0). Resposta (e).
0,sin
0)=(1,0). Resposta (e).
Passo 7
Para (f), contamos quantas voltas completas ocorrem: B, D, E, G, J têm n(β–α)=2π→1 volta; F e H têm 2(2π)=4π e 10(2π/5)=4π→2 voltas.
Passo 8
Para (g), vemos classes de reparametrizações por difeomorfismos φ: {A,I} pois ambas são cos
t,sin
t em [0,π]; {B,D,E,G,J} todas são reparametrizações de cos
u,sin
u em [0,2π] com u=±t,2t,5t etc.; e {F,H} pois ambas fazem 2 voltas (u=2t e u=10s relacionadas por φ(t)=t/5).
t,sin
t em [0,π]; {B,D,E,G,J} todas são reparametrizações de cos
u,sin
u em [0,2π] com u=±t,2t,5t etc.; e {F,H} pois ambas fazem 2 voltas (u=2t e u=10s relacionadas por φ(t)=t/5).
Resposta
(a) traço semicircular: {A,I}; traço círculo completo: {B,C,D,E,F,G,H,J}
(b) traços fechados (círculo): {B,C,D,E,F,G,H,J}
© curvas fechadas (F(0)=F(b)): {B,D,E,F,G,H,J}
(d) mesmo sentido anti‐horário: {B,D,F,G,H,J}; sentido horário: {E}
(e) mesmo ponto inicial (1,0): todas {B,D,E,F,G,H,J}
(f) 1 volta: {B,D,E,G,J}; 2 voltas: {F,H}
(g) mesmas curvas (reparametrizações): {A,I}; {B,D,E,G,J}; {F,H}
(b) traços fechados (círculo): {B,C,D,E,F,G,H,J}
© curvas fechadas (F(0)=F(b)): {B,D,E,F,G,H,J}
(d) mesmo sentido anti‐horário: {B,D,F,G,H,J}; sentido horário: {E}
(e) mesmo ponto inicial (1,0): todas {B,D,E,F,G,H,J}
(f) 1 volta: {B,D,E,G,J}; 2 voltas: {F,H}
(g) mesmas curvas (reparametrizações): {A,I}; {B,D,E,G,J}; {F,H}