Sejam
e
duas partículas cujas equações de movimento são dadas por
(a) Determine todos os pontos de interseção entre as duas trajetórias.
(b) Determine todos os pontos de colisão entre as duas trajetórias.
(b) Determine todos os pontos de colisão entre as duas trajetórias.
Passo 1
O problema dá duas partículas A e B com trajetórias paramétricas e pede (a) todos os pontos onde as curvas se cruzam (mesmo lugar, tempos possivelmente diferentes) e (b) todos os pontos onde elas colidem (mesmo lugar e mesmo instante). Vamos usar o fato de que a interseção exige (x_A(t_A),y_A(t_A))=(x_B(t_B),y_B(t_B)), enquanto colisão exige também t_A=t_B.
Passo 2
Para a interseção, seja t_A o parâmetro de A e t_B o de B. Escrevemos as condições
x_A(t_A)=x_B(t_B) e y_A(t_A)=y_B(t_B). Da primeira condição:
x_A(t_A)=x_B(t_B) e y_A(t_A)=y_B(t_B). Da primeira condição:
Isso nos dá t_A em função de t_B.
Passo 3
Substituímos
na igualdade das ordenadas y_A(t_A)=y_B(t_B):
Expandindo e rearranjando:
Logo t_B = 0 ou t_B = 2.
Passo 4
Agora basta achar os pontos. Para t_B=0:
então ponto (-2,4). Para t_B=2:
então ponto (2,4). Ambos têm t_A correspondentes em [-3,3] e t_B em [-2,3], logo são válidos.
Passo 5
Na colisão, exigimos t_A = t_B = t e x_A(t)=x_B(t). Assim:
Verificando as ordenadas em t=2: y_A(2)=4 e y_B(2)=4, ok. Portanto há colisão única no ponto (2,4) no instante t=2.
Resposta
Pontos de interseção: (-2,4) e (2,4).
Ponto de colisão: (2,4) no instante t = 2.
Ponto de colisão: (2,4) no instante t = 2.