Sejam A e B duas partículas cujas equações de movimento são dadas por
l x A ( t ) = t y A ( t ) = t ^ 2 , t in [ - 3 , 3 ] e l xB(t)=2 t-2 yB(t)=-4 t^2+8 t+4 , t in[-2,3]
(a) Determine todos os pontos de interseção entre as duas trajetórias.
(b) Determine todos os pontos de colisão entre as duas trajetórias.

Passo 1

O problema dá duas partículas A e B com trajetórias paramétricas e pede (a) todos os pontos onde as curvas se cruzam (mesmo lugar, tempos possivelmente diferentes) e (b) todos os pontos onde elas colidem (mesmo lugar e mesmo instante). Vamos usar o fato de que a interseção exige (x_A(t_A),y_A(t_A))=(x_B(t_B),y_B(t_B)), enquanto colisão exige também t_A=t_B.

Passo 2

Para a interseção, seja t_A o parâmetro de A e t_B o de B. Escrevemos as condições
x_A(t_A)=x_B(t_B) e y_A(t_A)=y_B(t_B). Da primeira condição:
tA = 2tB - 2
Isso nos dá t_A em função de t_B.

Passo 3

Substituímos
tA = 2tB - 2
na igualdade das ordenadas y_A(t_A)=y_B(t_B):
(2tB-2)^2 = -4tB^2 + 8tB + 4
Expandindo e rearranjando:
4tB^2 - 8tB + 4 = -4tB^2 + 8tB + 4 8tB^2 -16tB = 0 8tB(tB - 2) = 0
Logo t_B = 0 ou t_B = 2.

Passo 4

Agora basta achar os pontos. Para t_B=0:
xB(0)= -2, yB(0)=4,
então ponto (-2,4). Para t_B=2:
xB(2)=2, yB(2)=4,
então ponto (2,4). Ambos têm t_A correspondentes em [-3,3] e t_B em [-2,3], logo são válidos.

Passo 5

Na colisão, exigimos t_A = t_B = t e x_A(t)=x_B(t). Assim:
t = 2t - 2 t = 2
Verificando as ordenadas em t=2: y_A(2)=4 e y_B(2)=4, ok. Portanto há colisão única no ponto (2,4) no instante t=2.

Resposta

Pontos de interseção: (-2,4) e (2,4).
Ponto de colisão: (2,4) no instante t = 2.

Exercícios relacionados