Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
b.
. [resp.:
.]
b.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a integral de linha
independe do caminho e depois calcular o seu valor. O conteúdo é identificação de campo vetorial conservativo e uso de função potencial para avaliar integrais de linha.
Passo 2
Para verificar se o campo é conservativo, calculamos as derivadas parciais de
e
. Temos:
Como
Passo 3
Sendo o campo conservativo, existe função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
Passo 4
Agora usamos
para achar
:
Isto implica
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos, temos
Calculando:
Logo o valor da integral é
.