Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
b. integral(0,0)^(3,2) 2 x e^y d x+x^2 e^y d y. [resp.: 9 e^2.]

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a integral de linha integral(0,0)^(3,2)2x e^y,dx + x^2e^y,dy independe do caminho e depois calcular o seu valor. O conteúdo é identificação de campo vetorial conservativo e uso de função potencial para avaliar integrais de linha.

Passo 2

Para verificar se o campo é conservativo, calculamos as derivadas parciais de P(x,y)=2x e^y e Q(x,y)=x^2e^y. Temos:
partial Ppartial y=2x e^y
partial Qpartial x=2x e^y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Sendo o campo conservativo, existe função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x=P. Integramos P em relação a x:
partial Fpartial x=2x e^yimplies F(x,y)=integral 2x e^y,dx = x^2e^y + h(y)
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos partial F/partial y=Q para achar h(y):
partial Fpartial y=x^2e^y+h'(y)=Q(x,y)=x^2e^y
Isto implica h'(y)=0 e, portanto, h(y)=C. Podemos escolher C=0 sem perda de generalidade. Logo
F(x,y)=x^2e^y.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos, temos
integral(0,0)^(3,2)2x e^y,dx + x^2e^y,dy = F(3,2)-F(0,0)
Calculando:
F(3,2)=3^2e^2=9e^2, F(0,0)=0^2e^0=0
Logo o valor da integral é 9e^2.

Resposta

9e^2

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