Calcule as integrais indefinidas:
integral in(x^2+2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral lnl(x^2+2x+1r),dx
O conteúdo é integrais de funções logarítmicas, usando propriedades de logaritmo e a técnica de integração por partes (ou o resultado padrão integralln|u|,du=uln|u|-u+C).

Passo 2

Observe que
x^2+2x+1=(x+1)^2,
então
lnl(x^2+2x+1r)=lnl((x+1)^2r)=2lnlvert x+1rvert

Passo 3

Substituindo na integral, vem
integral lnl(x^2+2x+1r),dx =2integral lnlvert x+1rvert,dx

Passo 4

Para calcular integrallnlvert x+1rvert,dx use o resultado
integral lnlvert urvert,du = ulnlvert urvert - u + C
Aqui u=x+1 e du=dx, logo
integral lnlvert x+1rvert,dx =(x+1)lnlvert x+1rvert - (x+1) + C

Passo 5

Multiplicando por 2:
2integral lnlvert x+1rvert,dx =2l[(x+1)lnlvert x+1rvert - (x+1)r] + C =2(x+1)lnlvert x+1rvert -2(x+1)+C
Podemos recolher constantes e escrever também
;2(x+1)lnlvert x+1rvert -2x + C'.

Resposta

2(x+1)lnlvert x+1rvert -2(x+1) + C

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