1. (Ajuste de um Motor) O desempenho de um motor é ajustado ao longo do tempo com base em sua rotação
omega(t)=200-25 t+5 t^2
onde omega(t) é a rotação em RPM, e t é o tempo em segundos.
(a) Identifique os intervalos em que o motor acelera ou desacelera e explique como esses comportamentos podem afetar o desempenho e a vida útil do motor.
(b) Discuta como a derivada da função de rotação pode ser usada em sistemas de controle automático para melhorar a eficiência do motor.

Passo 1

O enunciado fornece a rotação do motor em função do tempo
omega(t) = 200 - 25,t + 5,t^2
em RPM, com t em segundos.
Conteúdo: derivação de funções polinomiais, análise de sinal da derivada para determinar aceleração ( omega'(t)>0) ou desaceleração ( omega'(t)<0), e aplicação do termo derivativo em sistemas de controle automático (por exemplo, a ação “D” em um controlador PID).

Passo 2

Calculamos a derivada de omega(t) para descobrir quando o motor acelera ou desacelera.
omega'(t) = ddtl(200 - 25,t + 5,t^2r) = -25 + 10,t
Resolvendo o sinal de omega'(t):
omega'(t) > 0 Longrightarrow -25 +10t >0 Longrightarrow t>2,5,
omega'(t) < 0 Longrightarrow t<2,5

Passo 3

Interpretação física (parte a):
– Para 0 <= t < 2,5,s, omega'(t)<0, o motor está desacelerando. Isso reduz torque e resposta, podendo melhorar economia de combustível, mas frear bruscamente tende a gerar aquecimento nos freios e maior desgaste dos componentes de frenagem.
– Para t>2,5,s, omega'(t)>0, o motor acelera, aumentando torque e potência entregues; em contrapartida, acelerações prolongadas ou muito rápidas elevam temperatura, causam maior atrito interno e desgaste prematuro de rolamentos e componentes móveis.

Passo 4

Uso da derivada em controle automático (parte b):
Em controladores PID, a ação derivativa responde à taxa de variação do erro de velocidade ou da própria rotação. Medindo omega'(t), o sistema antecipa mudanças bruscas e ajusta a injeção de combustível ou a corrente de armadura para:
u(t)=Kp,e(t)+Kiintegral e(tau)dtau+Kd,de(t)dt,
onde o termo Kd,dedt (derivativo) reduz sobre-oscilação e melhora a estabilidade, suavizando acelerações e desacelerações para otimizar eficiência e prolongar a vida útil do motor.

Resposta

(a) O motor desacelera para 0 <= t < 2,5,s ( omega'(t)<0) e acelera para t>2,5,s ( omega'(t)>0). Desacelerações bruscas podem causar aquecimento e desgaste nos sistemas de frenagem, enquanto acelerações prolongadas aumentam temperatura, atrito e desgaste interno.
(b) A derivada omega'(t) é usada em controladores automáticos (ação ``D'' em PID) para antecipar variações de rotação, reduzir sobre-oscilação, melhorar a estabilidade dinâmica e otimizar consumo e vida útil do motor.

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