1. (Otimização de Carregamento de Bateria) O carregamento de uma bateria de lítio é descrito por
C(t)=100(1-e^-0,05 t)
onde C(t) é a carga em porcentagem e t é o tempo em minutos.
(a) A taxa de carregamento diminui com o tempo. Explique por que essa tendência ocorre com base no comportamento da derivada.
(b) Como um(a) profissional da engenharia poderia usar a análise da derivada para projetar um carregador que equilibre eficiência e segurança?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de carga de uma bateria de lítio dado por
C(t) = 100l(1 - e^-0,05,tr)
onde C(t) é a carga em porcentagem e t o tempo em minutos. O conteúdo aqui é análise de derivadas para estudar a taxa de carregamento e depois usar essa análise para guiar o projeto de um carregador eficiente e seguro.

Passo 2

Calculamos a derivada C'(t) para ver como a taxa de carregamento varia no tempo.
Começamos de
C(t) = 100l(1 - e^-0,05,tr)
Derivando em relação a t:
C'(t) = 100 cdot ddtl(1 - e^-0,05,tr) = 100 cdot l(0 - (-0,05)e^-0,05,tr) = 5,e^-0,05,t

Passo 3

Note que
C'(t) = 5,e^-0,05,t
é sempre positiva (então a carga aumenta) e, como e^-0,05,t decai exponencialmente, C'(t) também decresce com o tempo. Fisicamente isso faz sentido: nos primeiros minutos a diferença de potencial entre o carregador e a bateria é grande, gerando alta corrente, mas conforme a bateria se aproxima de 100%, a diferença cai e o fluxo de carga diminui.

Passo 4

Um engenheiro pode usar essa informação de C'(t) para projetar um carregador em duas fases (CC–CV):
  1. Fase CC (corrente constante): manter uma corrente alta enquanto C'(t) está acima de um limiar escolhido, otimizando rapidez.
  2. Fase CV (tensão constante): quando C'(t) cai abaixo desse limiar, reduzir a corrente para evitar sobrecarga e aquecimento, garantindo segurança e vida útil da bateria.
    Além disso, pode-se programar o corte de carga automático ao monitorar C'(t) e desligar quando ele ficar muito baixo, evitando ciclos inúteis de microcarga.

Resposta

(a) A derivada é
C'(t)=5,e^-0,05,t,
que é decrescente em t, mostrando que a taxa de carregamento cai ao longo do tempo.
(b) O engenheiro monitora C'(t) para definir fases de carregamento (corrente constante e depois tensão constante) e limiares de corte de corrente, equilibrando rapidez na carga inicial e segurança no final.

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