Resolva o problema de valor inicial abaixo via transformada de Laplace
y^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=cos (t), y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O problema é resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 2y'' - y' - 2y = cos(t),
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1
Para isso vamos usar as fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'''=s^3Y(s)-s^2y(0)-s,y'(0)-y''(0),
além de Lcos t=s/(s^2+1), obter Y(s)=Ly(t) e depois inverter por frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada em cada termo da ODE e usando as condições iniciais, obtemos
s^3Y(s)-1 ;+;2l(s^2Y(s)r);-;l(sY(s)r);-;2Y(s) ;=;ss^2+1
Agrupando Y(s) e isolando-o, fica
Y(s)l(s^3 +2s^2 -s -2r) ;=;ss^2+1+1 Longrightarrow Y(s) = ss^2+1+1(s+2)(s-1)(s+1) =s^2+s+1(s^2+1)(s+2)(s-1)(s+1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
s^2+s+1(s^2+1)(s-1)(s+1)(s+2) =As-1+Bs+1+Cs+2+Ds+Es^2+1
Calculando A,B,C,D,E por valores especiais de s e comparação de coeficientes, achamos
A=tfrac14, B=-tfrac14, C=tfrac15, D=-tfrac15, E=-tfrac110

Passo 4

Assim
Y(s) =1/4s-1-1/4s+1+1/5s+2 -1/5,ss^2+1-1/10s^2+1
Invertendo termo a termo, usando
L^-11/(s-a)=e^at,
L^-1s/(s^2+1)=cos t e
L^-11/(s^2+1)=sin t, vem
y(t) =tfrac14 e^t-tfrac14 e^-t+tfrac15 e^-2t -tfrac15cos t-tfrac110sin t

Resposta

boxedy(t)=14 e^t-14 e^-t+15 e^-2t -15cos t-110sin t

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