Determinar a solução particular das seguintes EDOs aplicando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime-2 y^prime+y=xsen x1+x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular de uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea usando variação de parâmetros. O conteúdo principal é equação linear de coeficientes constantes, solução homogênea com raízes repetidas e a técnica de variação de parâmetros, que exige o cálculo da base de soluções homogêneas e do Wronskiano.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada
y''-2y'+y=0
O polinômio característico é r^2-2r+1=(r-1)^2, com raiz r=1 dupla. Logo, uma base de soluções é
$$y_1(x)=e^x,
\quad y_2(x)=x e^x.$$

Passo 3

A variação de parâmetros propõe uma solução particular da forma
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x),
onde as funções u1 e u2 satisfazem o sistema
$$\begin{cases}
u_1’(x)y_1(x)+u_2’(x)y_2(x)=0,\
u_1’(x)y_1’(x)+u_2’(x)y_2’(x)=f(x),
\end{cases}$$
com u1'(x)y1(x)+u2'(x)y2(x)=0, u1'(x)y1'(x)+u2'(x)y2'(x)=f(x), .

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
W(x)=y1&y2y1'&y2' =e^x & x e^xe^x & (1+x)e^x =e^xcdot(1+x)e^x - x e^xcdot e^x=e^2x

Passo 5

Das fórmulas de variação de parâmetros temos
u1'(x)=-y2(x)f(x)W(x), u2'(x)=y1(x)f(x)W(x)
Substituindo y1,y2,f,W:
u1'(x)=-x e^xcdot dfracx(1+x)sin xe^2x =-x^2(1+x)sin x,e^x,
u2'(x)=e^xcdot dfracx(1+x)sin xe^2x =x(1+x)sin x,e^x

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=- integral x^2(1+x)sin x,e^x,dx, u2(x)= integral x(1+x)sin x,e^x,dx

Passo 7

Por fim, a solução particular fica
yp(x)=-e^xintegral x^2(1+x)sin x,e^x,dx + x e^xintegral x(1+x)sin x,e^x,dx

Resposta

y_p(x)=-e^x\int \frac{x^2}{(1+x)\sin x,e^x},dx + x e^x\int \frac{x}{(1+x)\sin x,e^x},dx

Exercícios relacionados