Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clsen x & se 0á

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier da função $ f(x) $, que é igual a $ \sin x $ quando $ 0 < x < \pi $ e igual a zero em qualquer outro lugar. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para decompor funções em suas frequências componentes. Vamos precisar usar integrais e algumas propriedades trigonométricas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
f(x)
Essa integral transforma a função $ f(x) $ do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero para $ x \leq 0 $ e $ x \geq \pi $. Isso significa que podemos simplificar a integral, limitando-a de $ 0 $ a $ \pi $:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar $ \sin x $ por $ e^{-ikx} $. Sabemos que podemos usar a identidade de Euler para expressar $ \sin x $:
sin x
Substituindo na integral, temos:
e^-ikx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
F(k) = 12i integral0^pi ( e^ix cdot e^-ikx - e^-ix cdot e^-ikx ) dx
F(k) = 12i integral0^pi ( e^i(1 - k)x - e^-i(1 + k)x ) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de $ e^{iax} $ é $ \frac{e^{iax}}{ia} $:
e^iax

Passo 7

Simplificando os denominadores:
F(k) = 12i [ e^i(1 - k)pi - 1i(1 - k) + e^-i(1 + k)pi - 1i(1 + k) ]
F(k) = 12i [ e^i(1 - k)pi - 1i(1 - k) + e^-i(1 + k)pi - 1i(1 + k) ]

Passo 8

Vamos simplificar cada termo. Lembrando que $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $:
e^itheta = costheta + isintheta

Passo 9

Observando que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $ e $ \sin(n\pi) = 0 $ para inteiro $ n $, simplificamos:
cos(npi) = (-1)^n

Passo 10

Finalmente, organizando os termos e simplificando os fatores de $ i $:
i

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

Exercícios relacionados