Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier da função $ f(x) $, que é igual a $ \sin x $ quando $ 0 < x < \pi $ e igual a zero em qualquer outro lugar. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para decompor funções em suas frequências componentes. Vamos precisar usar integrais e algumas propriedades trigonométricas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
Essa integral transforma a função $ f(x) $ do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero para $ x \leq 0 $ e $ x \geq \pi $. Isso significa que podemos simplificar a integral, limitando-a de $ 0 $ a $ \pi $:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar $ \sin x $ por $ e^{-ikx} $. Sabemos que podemos usar a identidade de Euler para expressar $ \sin x $:
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de $ e^{iax} $ é $ \frac{e^{iax}}{ia} $:
Passo 7
Simplificando os denominadores:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo. Lembrando que $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $:
Passo 9
Observando que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $ e $ \sin(n\pi) = 0 $ para inteiro $ n $, simplificamos:
Passo 10
Finalmente, organizando os termos e simplificando os fatores de $ i $:
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: