Calcule as integrais indefinidas:
e) integral 3 traiz1-t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 3traiz1-t^2,dt. O conteúdo aqui é técnica de substituição para integrais envolvendo expressão do tipo raiz1-t^2.

Passo 2

Vamos usar substituição. Definimos u = 1 - t^2. Então, diferenciando, temos du = -2t,dt, ou seja, t,dt = -tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, substituímos 3t,dt = 3l(t,dtr) = 3l(-tfrac12,dur) = -tfrac32,du. E raiz1-t^2 = raizu. Logo:
integral 3traiz1-t^2,dt = -tfrac32 integral 1raizu,du = -tfrac32 integral u^-1/2,du

Passo 4

Agora integramos u^-1/2. Sabemos que integral u^alpha,du = u^alpha+1alpha+1 + C para alpha neq -1. Aqui alpha = -tfrac12, então:
-tfrac32 integral u^-1/2,du = -tfrac32 cdot u^1/21/2 + C = -tfrac32 cdot 2,u^1/2 + C = -3raizu + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t: raizu = raiz1-t^2. Então a primitiva é: -3raiz1-t^2 + C.

Resposta

-3\sqrt{1-t^{2}} + C

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