Determinar a solução particular das seguintes EDOs aplicando o método de Variação de Parâmetros:
y^prime prime-4 y=xcos (x)

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular da EDO y''-4y=xcos x usando variação de parâmetros. O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem não-homogênea e vamos precisar das soluções da homogênea, do Wronskiano e da fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é y''-4y=0. A equação característica é r^2-4=0, cujas raízes são r=2 e r=-2. Portanto, duas soluções independentes são y1=e^2x e y2=e^-2x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2. Temos y1'=2e^2x e y2'=-2e^-2x, logo
W=e^2x(-2e^-2x)-(2e^2x)e^-2x=-2-2=-4

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros para uma EDO y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
yp=-y1(x)integral y2(x)f(x)W(x),dx + y2(x)integral y1(x)f(x)W(x),dx
No nosso caso, f(x)=xcos x, y1=e^2x, y2=e^-2x e W=-4. Substituindo na fórmula vem
yp=-e^2xintegral e^-2x,(x/cos x)-4,dx + e^-2xintegral e^2x,(x/cos x)-4,dx

Passo 5

Simplificando os sinais e o fator 1/4, obtemos:
yp=e^2x4integral x,e^-2xsec x,dx;-e^-2x4integral x,e^2xsec x,dx

Resposta

A solução particular pode ser escrita como
yp=e^2x4integral x,e^-2xsec x,dx;- e^-2x4integral x,e^2xsec x,dx

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