Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO de tipo Cauchy–Euler
x^2y''+y=0
Esse tipo de equação a gente resolve supondo que a solução seja da forma y=x^m.

Passo 2

Para usar a suposição y=x^m, vamos derivar:
  • y=x^m
  • y'=m,x^m-1
  • y''=m(m-1)x^m-2

Passo 3

Agora substituímos na equação original:
x^2y''+y = x^2l(m(m-1)x^m-2r)+x^m = m(m-1)x^m+x^m = l(m(m-1)+1r)x^m =0
Como x^mneq0, isso gera a equação característica

Passo 4

A equação característica é:
m(m-1)+1=0
Desenvolvendo:
m^2-m+1=0
O discriminante é De, logo as raízes são complexas:
m=1pm iraiz32=12pm iraiz32

Passo 5

Quando as raízes são m=alphapm ibeta, a solução geral é
y(x)=x^alphal(C1cos(betaln x)+C2sin(betaln x)r).
Aqui alpha=1/2 e beta=raiz3/2, basta aplicar.

Resposta

y(x)=x^1/2l(C1cosl(tfracraiz32ln xr)+C2sinl(tfracraiz32ln xr)r)

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