Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
se
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
para
. O conteúdo principal é a transformada seno de Fourier e vamos usar a representação integral de Fourier junto com a identidade de ortogonalidade das senóides.
Passo 2
Vamos definir a função
para
de modo que a sua transformada seno de Fourier seja
Passo 3
Para verificar essa fórmula usamos primeiro a identidade
e a integral conhecida
com
Passo 4
Escrevendo a integral original em termos de
e trocando a ordem de integração,
$$I(x)=\int_{0}^{\infty}\mathcal{F}_s{f}(\omega),\sin(\omega x),d\omega
=\int_{0}{\infty}\Bigl[\int_{0}{\infty}f(t)\sin(\omega t),dt\Bigr]\sin(\omega x),d\omega,
\int_{0}^{\infty}\sin(\omega t),\sin(\omega x),d\omega=\frac{\pi}{2},\delta(t-x).$$
Passo 5
Isso reduz a integral a
Passo 6
Como
, concluímos que a integral vale o valor pedido.