Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty omega^3 sen x omegaomega^4+4 d omega=pi2 e^-x cos x se x>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria I(x)=integral0^infty omega^3 sin(xomega)omega^4+4,domega para x>0. O conteúdo principal é a transformada seno de Fourier e vamos usar a representação integral de Fourier junto com a identidade de ortogonalidade das senóides.

Passo 2

Vamos definir a função f(t)=e^-tcos t para t>=0 de modo que a sua transformada seno de Fourier seja
Fsf(omega)=integral0^inftyf(t),sin(omega t),dt=omega^3omega^4+4

Passo 3

Para verificar essa fórmula usamos primeiro a identidade cos t,sin(omega t)=tfrac12[sin((omega+1)t)+sin((omega-1)t)] e a integral conhecida
integral0^inftye^-atsin(bt),dt=ba^2+b^2,
com a=1 e b=omegapm1. Isso entrega exatamente
12l(omega+11+(omega+1)^2+omega-11+(omega-1)^2r)=omega^3omega^4+4

Passo 4

Escrevendo a integral original em termos de Fsf e trocando a ordem de integração,
$$I(x)=\int_{0}^{\infty}\mathcal{F}_s{f}(\omega),\sin(\omega x),d\omega
=\int_{0}{\infty}\Bigl[\int_{0}{\infty}f(t)\sin(\omega t),dt\Bigr]\sin(\omega x),d\omega, I(x)=integral0^inftyFsf(omega),sin(omega x),domega =integral0^inftyl[integral0^inftyf(t)sin(omega t),dtr]sin(omega x),domega,ã\int_{0}^{\infty}\sin(\omega t),\sin(\omega x),d\omega=\frac{\pi}{2},\delta(t-x).$$

Passo 5

Isso reduz a integral a
I(x)=integral0^inftyf(t),pi2,de

Passo 6

Como f(x)=e^-xcos x, concluímos que a integral vale o valor pedido.

Resposta

pi2 e^-x cos x

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