Calcule as integrais indefinidas
integral x^4raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x^4raiz1-x^2 dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração, utilizando substituições e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir $ u = 1 - x^{2} $. Essa substituição é útil porque a raiz quadrada no denominador envolve u = 1 - x^2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow x , dx = -du2

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u. Sabemos que x^2 = 1 - u, então x^4 = (x^2)^2 = (1 - u)^2. Substituindo na integral:
integral x^4raiz1 - x^2 dx = integral (1 - u)^2raizu cdot (-du2)

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes e expandir a expressão:
- 12 integral (1 - 2u + u^2)raizu du = - 12 integral ( u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C
integral 2u^1/2 du = 2 cdot 23u^3/2 = 43u^3/2 + C
integral u^3/2 du = 25u^5/2 + C

Passo 7

Substituindo as integrais resolvidas de volta na expressão:
- 12 ( 2u^1/2 - 43u^3/2 + 25u^5/2 ) + C = -u^1/2 + 23u^3/2 - 15u^5/2 + C

Passo 8

Agora, substituímos u = 1 - x^2 de volta na expressão:
- raiz1 - x^2 + 23(1 - x^2)^3/2 - 15(1 - x^2)^5/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^4raiz1-x^2 dx = -raiz1 - x^2 + 23(1 - x^2)^3/2 - 15(1 - x^2)^5/2 + C

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