Calcule as integrais indefinidas
integral sen^2(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral sin^2(3x) dx. Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, lembramos da identidade trigonométrica que transforma sin^2(A) em uma forma mais fácil de integrar:
sin^2(A) = 1 - cos(2A)2
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, onde A = 3x, temos:
sin^2(3x) = 1 - cos(6x)2
Então, substituímos na integral:
integral sin^2(3x) dx = integral 1 - cos(6x)2 dx

Passo 4

Agora, podemos separar a integral em duas partes e fatorar o 1/2:
integral 12 dx - integral cos(6x)2 dx
Integrando cada termo:
12 integral dx = 12 x
12 integral cos(6x) dx = 12 cdot sin(6x)6 = sin(6x)12

Passo 5

Juntando as partes integradas, temos:
12 x - sin(6x)12 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral sin^2(3x) dx = 12 x - sin(6x)12 + C

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