Indique cada integral como convergente ou divergente e, em seguida calcule-a
integral1^+infty x^3x^4+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a integral integral1^+infty x^3x^4+3 dx é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se o limite associado a ela existe e é finito. Caso contrário, é divergente. No nosso caso, estamos lidando com um intervalo infinito, então precisamos verificar se o limite da integral quando x tende a +infty é finito.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função x^3x^4+3 quando x cresce. Observamos que o grau do polinômio no numerador é 3 e no denominador é 4. Como o grau do denominador é maior, a função tende a zero quando x vai para o infinito. Isso é um bom indicativo de que a integral pode ser convergente.

Passo 4

Para calcular a integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir u = x^4 + 3. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = 4x^3, ou seja, du = 4x^3 dx. Podemos reescrever x^3 dx como du/4.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral x^3x^4+3 dx = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u du
A integral de 1/u é o logaritmo natural, então:
14 ln|u| + C = 14 ln(x^4 + 3) + C

Passo 6

Agora, precisamos avaliar os limites de integração de 1 a +infty:
limb to +infty [ 14 ln(x^4 + 3) ]1^b = limb to +infty ( 14 ln(b^4 + 3) - 14 ln(1^4 + 3) )
Simplificando:
= limb to +infty 14 ln(b^4 + 3) - 14 ln(4)

Passo 7

Analisando o limite quando b tende a +infty:
ln(b^4 + 3) approx ln(b^4) = 4ln(b)
Então:
limb to +infty 14 cdot 4ln(b) - 14 ln(4) = limb to +infty ln(b) - 14 ln(4)
Como ln(b) tende a +infty, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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