Indique cada integral como convergente ou divergente e, em seguida calcule-a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se o limite associado a ela existe e é finito. Caso contrário, é divergente. No nosso caso, estamos lidando com um intervalo infinito, então precisamos verificar se o limite da integral quando
tende a
é finito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
quando
cresce. Observamos que o grau do polinômio no numerador é 3 e no denominador é 4. Como o grau do denominador é maior, a função tende a zero quando
vai para o infinito. Isso é um bom indicativo de que a integral pode ser convergente.
Passo 4
Para calcular a integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Podemos reescrever
como
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é o logaritmo natural, então:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar os limites de integração de 1 a
:
Simplificando:
Passo 7
Analisando o limite quando
tende a
:
Então:
Como
tende a
, a integral diverge.
Resposta
A integral é divergente.