Supondo que alpha e beta são constantes, u e v são campos escalares e F e G são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial.
h. rot(alpha F+beta G)=alpha rot(F)+beta rot(G)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador rot (ou curl) é linear, isto é, que ele distribui sobre a combinação linear de campos vetoriais constantes. Vamos usar a definição componente a componente do rot e a linearidade das derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que, para um campo vetorial vec H=(Hx,Hy,Hz), o rot é dado por:
$$\nabla\times\vec H=
\bigl(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z},\n\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x},\n\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}\bigr). nablatimesvec H= l(partial Hzpartial y-partial Hypartial z,npartial Hxpartial z-partial Hzpartial x,npartial Hypartial x-partial Hxpartial yr)çã\alpha\vec F+\beta\vec G=(\alpha F_x+\beta G_x,\alpha F_y+\beta G_y,\alpha F_z+\beta G_z).$$

Passo 3

Aplicando a definição de rot a alphavec F+betavec G, obtemos cada componente como derivada parcial de uma soma:
nablatimes(alphavec F+betavec G)=l(partialpartial y(alpha Fz+beta Gz)-partialpartial z(alpha Fy+beta Gy),dotsr)

Passo 4

Usando a linearidade das derivadas parciais (isto é, partial(alpha f+beta g)/partial x=alphapartial f/partial x+betapartial g/partial x), cada componente se separa em duas partes: uma contendo alpha vezes derivadas de F e outra contendo beta vezes derivadas de G. Agrupando os termos, reconhecemos as componentes de alphanablatimesvec F+betanablatimesvec G.

Resposta

nablatimes(alphavec F+betavec G)=alpha,nablatimesvec F+beta,nablatimesvec G

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