Supondo que
e
são constantes,
e
são campos escalares e
e
são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial.
h.
h.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador rot (ou curl) é linear, isto é, que ele distribui sobre a combinação linear de campos vetoriais constantes. Vamos usar a definição componente a componente do rot e a linearidade das derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando que, para um campo vetorial
, o rot é dado por:
$$\nabla\times\vec H=
\bigl(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z},\n\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x},\n\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}\bigr).
\alpha\vec F+\beta\vec G=(\alpha F_x+\beta G_x,\alpha F_y+\beta G_y,\alpha F_z+\beta G_z).$$
Passo 3
Aplicando a definição de rot a
, obtemos cada componente como derivada parcial de uma soma:
Passo 4
Usando a linearidade das derivadas parciais (isto é,
), cada componente se separa em duas partes: uma contendo
vezes derivadas de
e outra contendo
vezes derivadas de
. Agrupando os termos, reconhecemos as componentes de
.