Calcule as integrais indefinidas
integral x^2 cos (x-12) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de $ \int x^{2} \cos \left(x-\frac{1}{2}\right) dx $. Essa questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher as partes $ u $ e $ dv $ de forma estratégica. Para nossa integral, vamos definir:
u
dv

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 cos(x - 12) dx = x^2 sin(x - 12) - integral sin(x - 12) cdot 2x , dx
Agora, a gente precisa resolver a nova integral $ \int 2x \sin\left(x - \frac{1}{2}\right) dx $.

Passo 4

Vamos simplificar a constante e focar na integral:
2 integral x sin(x - 12) dx
Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Definimos agora:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(x - 12) dx Rightarrow v = -cos(x - 12)

Passo 5

Aplicando a integração por partes novamente:
2 ( -x cos(x - 12) + integral cos(x - 12) dx )
A última integral é fácil de resolver:
integral cos(x - 12) dx = sin(x - 12)
Então, substituindo de volta:
2 ( -x cos(x - 12) + sin(x - 12) )

Passo 6

Agora, voltamos à expressão anterior:
integral x^2 cos(x - 12) dx = x^2 sin(x - 12) - 2 ( -x cos(x - 12) + sin(x - 12) ) + C
Simplificando os sinais:
x^2 sin(x - 12) + 2x cos(x - 12) - 2 sin(x - 12) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2 cos(x - 12) dx = x^2 sin(x - 12) + 2x cos(x - 12) - 2 sin(x - 12) + C

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