Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida de $ \int x^{2} \cos \left(x-\frac{1}{2}\right) dx $. Essa questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Vamos escolher as partes $ u $ e $ dv $ de forma estratégica. Para nossa integral, vamos definir:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, a gente precisa resolver a nova integral $ \int 2x \sin\left(x - \frac{1}{2}\right) dx $.
Passo 4
Vamos simplificar a constante e focar na integral:
Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Definimos agora:
Passo 5
Aplicando a integração por partes novamente:
A última integral é fácil de resolver:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão anterior:
Simplificando os sinais:
Resposta
A integral indefinida é: