Calcule as seguintes integrais definidas:
c integrale^3^e^e^2 1x ln (x) ln (ln (x)) d x integral0^1 2 x^3 e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas usando técnicas de substituição e, no segundo caso, integração por partes. Vamos precisar reconhecer a forma 1x para usar u=ln x na primeira e a forma 2x e^x^2 na segunda, além da regra de integração por partes para integral t e^t dt.

Passo 2

Para I1=integrale^3^e^e^2 1xln(x)ln(ln(x)),dx, fazemos u=ln x, logo du=tfracdxx. As novas cotas são u( e^3)=3 e u(e^e^2)=e^2. A integral vira
integral3^e^2 1uln u,du
Depois usamos v=ln u com dv=tfracduu e limites v(3)=ln3, v(e^2)=2. Assim
integralln3^2 1v,dv = l[ln|v|r]ln3^2 = ln!l(tfrac2ln3r)

Passo 3

Para I2=integral0^1 2x^3 e^x^2,dx, notamos que 2x^3=2xcdot x^2. Fazemos t=x^2, então dt=2x,dx e as cotas vão de 0 a 1. A integral fica
integral0^1 t e^t,dt
Para integral t e^t dt aplicamos integração por partes:
u=t, dv=e^t dt du=dt, v=e^t. Logo
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = (t-1)e^t + C
Avaliando de 0 a 1 dá
$$(1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 0 - (-1) = 1.
$$

Resposta

I1 = ln!l(tfrac2ln3r), \quad I2 = 1

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