Calcule as integrais indefinidas
(x) integral x^4+xx^2+x-12 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4 + xx^2 + x - 12 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, e para resolver precisamos usar técnicas como divisão polinomial e frações parciais. Basicamente, vamos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o grau do numerador ( x^4) é maior que o grau do denominador ( x^2). Quando isso acontece, a gente faz uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir x^4 + x por x^2 + x - 12. Como primeiro passo, dividimos o termo de maior grau do numerador pelo do denominador:
x^4x^2 = x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos o denominador x^2 + x - 12 pelo resultado x^2:
x^2 cdot (x^2 + x - 12) = x^4 + x^3 - 12x^2

Passo 5

Subtraímos esse resultado do numerador original:
(x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x) - (x^4 + x^3 - 12x^2) = -x^3 + 12x^2 + x

Passo 6

Repetimos o processo dividindo -x^3 por x^2:
-x^3x^2 = -x
Multiplicamos o denominador por -x:
-x cdot (x^2 + x - 12) = -x^3 - x^2 + 12x

Passo 7

Subtraímos novamente:
(-x^3 + 12x^2 + x) - (-x^3 - x^2 + 12x) = 13x^2 - 11x

Passo 8

Mais uma divisão: 13x^2 div x^2 = 13. Multiplicamos o denominador por 13:
13 cdot (x^2 + x - 12) = 13x^2 + 13x - 156

Passo 9

Subtraímos pela última vez:
(13x^2 - 11x) - (13x^2 + 13x - 156) = -24x + 156

Passo 10

Agora, juntando tudo, a divisão nos dá:
x^2 - x + 13 + -24x + 156x^2 + x - 12
Então, a integral fica:
integral x^4 + xx^2 + x - 12 , dx = integral ( x^2 - x + 13 ) , dx + integral -24x + 156x^2 + x - 12 , dx

Passo 11

Vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
integral ( x^2 - x + 13 ) , dx = 13x^3 - 12x^2 + 13x + C

Passo 12

Agora, para a segunda integral integral -24x + 156x^2 + x - 12 , dx, vamos usar o método de frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)
Então, escrevemos:
-24x + 156(x + 4)(x - 3) = Ax + 4 + Bx - 3

Passo 13

Multiplicamos ambos os lados por (x + 4)(x - 3) para eliminar os denominadores:
-24x + 156 = A(x - 3) + B(x + 4)
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  • Para x = 3:
-72 + 156 = A(0) + B(7) Rightarrow 84 = 7B Rightarrow B = 12
  • Para x = -4:
96 + 156 = A(-7) + B(0) Rightarrow 252 = -7A Rightarrow A = -36

Passo 14

Agora, substituímos A e B na expressão:
-24x + 156(x + 4)(x - 3) = -36x + 4 + 12x - 3
Então, a segunda integral fica:
integral -36x + 4 , dx + integral 12x - 3 , dx = -36 ln|x + 4| + 12 ln|x - 3| + C

Resposta

Juntando todas as partes, a integral resolvida é:
integral x^4 + xx^2 + x - 12 , dx = 13x^3 - 12x^2 + 13x - 36 ln|x + 4| + 12 ln|x - 3| + C

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