Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, e para resolver precisamos usar técnicas como divisão polinomial e frações parciais. Basicamente, vamos simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
). Quando isso acontece, a gente faz uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Como primeiro passo, dividimos o termo de maior grau do numerador pelo do denominador:
Passo 4
Agora, multiplicamos o denominador
pelo resultado
:
Passo 5
Subtraímos esse resultado do numerador original:
Passo 6
Repetimos o processo dividindo
por
:
Multiplicamos o denominador por
:
Passo 7
Subtraímos novamente:
Passo 8
Mais uma divisão:
. Multiplicamos o denominador por 13:
Passo 9
Subtraímos pela última vez:
Passo 10
Agora, juntando tudo, a divisão nos dá:
Então, a integral fica:
Passo 11
Vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Passo 12
Agora, para a segunda integral
, vamos usar o método de frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, escrevemos:
Passo 13
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 14
Agora, substituímos
e
na expressão:
Então, a segunda integral fica:
Resposta
Juntando todas as partes, a integral resolvida é: