lim x 2 x^3-8x^2-x-2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 2 x^3-8x^2-x-2. Esse exercício faz parte do conteúdo de Limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas, especialmente fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor x = 2 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
2^3 - 82^2 - 2 - 2 = 8 - 84 - 2 - 2 = 00
Obtivemos uma expressão indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a fração para continuar.

Passo 3

Para simplificar a fração, vamos fatorar o numerador e o denominador. Começamos pelo numerador x^3 - 8, que é uma diferença de cubos. A fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aplicando isso ao numerador:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 2. Para fatorar um trinomio do segundo grau, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1.
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 5

Com as fatorações feitas, podemos reescrever a expressão original:
x^3-8x^2-x-2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x - 2)(x + 1)
Agora, podemos cancelar o fator comum (x - 2) no numerador e no denominador:
x^2 + 2x + 4x + 1

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 2:
2^2 + 2 cdot 2 + 42 + 1 = 4 + 4 + 43 = 123 = 4

Resposta

O limite lim x 2 x^3-8x^2-x-2 é igual a 4.

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