Calcule as integrais indefinidas:
e) integral e^2 x sen(e^2 x)cos (e^2 x) d x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral indefinida integral e^2x,sinl(e^2xr)cosl(e^2xr),dx. O conteúdo central aqui é o método de substituição em integrais (ou mudança de variável), pois enxergamos ali a derivada de e^2x junto com funções trigonométricas.

Passo 2

Para aplicar substituição, definimos uma nova variável u igual ao argumento das funções trigonométricas: u = e^2x

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos du = 2e^2xdx, ou seja, e^2xdx = tfrac12,du. Substituindo na integral original, obtemos: integral e^2x,sin(u)cos(u),dx = integral sin(u)cos(u)cdot12,du = tfrac12 integral tan(u),du

Passo 4

Agora usamos a fórmula de integração de tan(u):
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C
Logo,
tfrac12 integral tan(u),du = -tfrac12 lnl|cos(u)r| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = e^2x. Assim, a integral é:
-tfrac12 lnl|cosl(e^2xr)r| + C

Resposta

-\tfrac12 \ln\bigl|\cos\bigl(e^{2x}\bigr)\bigr| + C

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