Nesse exercício, queremos calcular a integral indefinida . O conteúdo central aqui é o método de substituição em integrais (ou mudança de variável), pois enxergamos ali a derivada de junto com funções trigonométricas.
Passo 2
Para aplicar substituição, definimos uma nova variável igual ao argumento das funções trigonométricas:
Passo 3
Derivando em relação a , temos , ou seja, . Substituindo na integral original, obtemos:
Passo 4
Agora usamos a fórmula de integração de :
Logo,
tfrac12 integral tan(u),du = -tfrac12 lnl|cos(u)r| + C
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original substituindo u = e^2x. Assim, a integral é:
-tfrac12 lnl|cosl(e^2xr)r| + C
Resposta
-\tfrac12 \ln\bigl|\cos\bigl(e^{2x}\bigr)\bigr| + C