Calcule as integrais indefinidas:
w) integral sec ^2(6 / x^3)x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sec^2l(6/x^3r)x^4,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substituição), já que o denominador x^4 aparece relacionado à derivada de 6/x^3.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = tfrac6x^3. Derivando, temos
du = ddxl(6x^-3r),dx = -18x^-4,dx
Isolando x^-4,dx, obtemos x^-4,dx = -tfrac118,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, ela vira
integral sec^2(u)x^4,dx = integral sec^2(u)l(-tfrac118,dur) = -tfrac118integral sec^2(u),du
Integrando, sabemos que integral sec^2(u),du = tan(u) + C. Portanto,
-tfrac118tan(u) + C
e voltando à variável x:
Substituindo u = tfrac6x^3 de volta, a solução final é
-tfrac118tanl(tfrac6x^3r) + C

Resposta

-\tfrac{1}{18}\tan\bigl(\tfrac{6}{x^3}\bigr) + C

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