Calcule as integrais indefinidas:
r) integral 1t^4+t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral1t^4+t^3,dt. O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais de uma função racional, seguida da integração de termos simples em t.

Passo 2

Primeiro a gente fatoriza o denominador para ver a estrutura:
t^4+t^3=t^3(t+1)
Logo podemos reescrever a integranda como
1t^4+t^3=1t^3(t+1)

Passo 3

Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais. Como o fator t aparece com multiplicidade 3 e temos ainda o fator linear t+1, assumimos:
1t^3(t+1)=At+Bt^2+Ct^3+Dt+1
Multiplicando ambos os lados por t^3(t+1) e igualando coeficientes temos:
1=A,t^2(t+1)+B,t(t+1)+C,(t+1)+D,t^3
Expandindo e coletando em potências de t:
1=(A+D),t^3+(A+B),t^2+(B+C),t+C
Comparando com o polinômio constante 1=0,t^3+0,t^2+0,t+1, obtemos o sistema:
A+D=0, A+B=0, B+C=0, C=1

Passo 4

Resolvendo: C=1, B=-1, A=1, D=-1. Portanto
1t^3(t+1)=1t-1t^2+1t^3-1t+1

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral1t,dt=ln|t|, integral(-1t^2)dt=integral -t^-2dt=1t, integral1t^3dt=integral t^-3dt=-12t^2, integral(-1t+1)dt=-ln|t+1|

Passo 6

Somando tudo, a primitiva fica:
ln|t|+1t-12t^2-ln|t+1|+C

Resposta

ln!l|tr|+tfrac1t-tfrac12t^2-ln!l|t+1r|+C

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