Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivação, se a resposta encontrada está correta (somente do item a ) até o item f ):
d) integral x^21+x^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral integral x^21+x^2,dx. O conteúdo principal é integração de função racional, usando divisão algébrica e a integral de 1/(1+x^2).

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a divisão algébrica: escrevemos
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. A integral de 1 é
integral 1,dx = x
A integral de 11+x^2 é
integral 11+x^2,dx = arctan x
Como tínhamos -1/(1+x^2), o resultado dessa parte é -arctan x.

Passo 4

Combinando os resultados, nossa primitiva fica
x - arctan x + C

Passo 5

Verificação por derivação: derivando x - arctan x + C, obtemos
ddx(x) = 1,
ddx(-arctan x) = -11+x^2
Somando, vem
1 - 11+x^2 = 1+x^2-11+x^2 = x^21+x^2,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

x - arctan x + C

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