A força em um ponto ( x, y, z) é dada por F(x, y, z)=y i+z j+x k. Ache o trabalho realizado por F(x, y, z) ao longo da cúbica reversa x=t, y=t^2, z=t^3 de (0,0,0) até (2,4,8). [resp.: 41215.]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho de um campo vetorial sobre uma curva no espaço. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos usar a definição
W=integralCFcdot dr
Para isso, precisamos parametrizar a curva, obter sua derivada e avaliar o produto escalar de F pela derivada do parâmetro.

Passo 2

A curva é dada por
x=t, y=t^2, z=t^3, 0<= t<= 2
Então definimos
r(t)=(t,,t^2,,t^3)
e sua derivada
r'(t)=(1,,2t,,3t^2)

Passo 3

Agora, avaliamos o campo F(x,y,z)=y,vec i+z,vec j+x,vec k ao longo de r(t):
F(r(t))=(t^2,,t^3,,t)
O integrando da integral de linha é o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t)=t^2cdot1+ t^3cdot(2t)+ tcdot(3t^2)=t^2+2t^4+3t^3

Passo 4

Finalmente, integraremos de t=0 a t=2:
W=integral0^2l(t^2+3t^3+2t^4r)dt =integral0^2t^2dt+3integral0^2t^3dt+2integral0^2t^4dt
Calculando termo a termo:
integral0^2t^2dt=2^33=83, integral0^2t^3dt=2^44=4, integral0^2t^4dt=2^55=325
Substituindo:
W=83+3cdot4+2cdot325 =83+12+645 =41215

Resposta

41215

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