Calcule as integrais usando os métodos de integração por partes, substituição ou ambos.
integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 e^x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x^2. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x, ou seja, du = 2x , dx. Isso significa que x , dx = du2.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u. Temos x^3 e^x^2 , dx. Como x^3 = x^2 cdot x, podemos substituir x^2 por u e x , dx por du2. Então, a integral fica:
integral x^3 e^x^2 , dx = integral u cdot e^u cdot du2 = 12 integral u e^u , du

Passo 4

Agora, precisamos resolver integral u e^u , du. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = u (simples)
  • dv = e^u , du
Então, calculamos:
  • du = du
  • v = integral e^u , du = e^u

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição original, lembramos que u = x^2. Então, substituímos u de volta:
12 (u e^u - e^u) + C = 12 (x^2 e^x^2 - e^x^2) + C

Resposta

A integral integral x^3 e^x^2 , dx é igual a:
12 ( x^2 e^x^2 - e^x^2 ) + C

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