Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt.
Informações importantes: a variável de integração é t e a função integranda pode ser vista como -t^{-2}. Lembrar que essa expressão só faz sentido para t\neq0.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra da potência para primitivas): para todo número real n com n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui t^{n} significa a variável t elevada à potência n.

Passo 3

Reescrevo a integranda usando potência:
-\frac{1}{t^{2}}=-t^{-2}.
Então
\int\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt=-\int t^{-2}\,dt.

Passo 4

Aplico a regra da potência com n=-2:
\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-2+1}}{-2+1}=\frac{t^{-1}}{-1}=-t^{-1}+C.
Voltando ao sinal negativo externo:
-\int t^{-2}\,dt=-\bigl(-t^{-1}+C\bigr)=t^{-1}+C.
Escrevendo de forma mais familiar:
t^{-1}=\frac{1}{t},
logo a primitiva é \dfrac{1}{t}+C.

Passo 5

Verificação rápida por derivação: escrevendo a primitiva proposta como F(t)=t^{-1},
F'(t)=-1\cdot t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}},
que coincide com a integranda. Tudo certo. Notar de novo que t\neq0.

Resposta

\dfrac{1}{t}+C

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