Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A integranda é a soma de duas funções; pela propriedade da integral, podemos integrar cada termo separadamente.
- Devemos observar a região onde a expressão é real: a quarta raiz exige
(além disso é proibido por estar no denominador). Portanto trabalharemos com .
Passo 2
Converter radicais em potências é o primeiro passo para aplicar a regra de potência da integral. Lembrando que
. Assim:
e portanto
A integranda fica
Passo 3
Vou usar duas ideias fundamentais:
- Linearidade da integral:
- Regra da potência para integração: para
,
Aqui
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Atenção: a fórmula não vale para
(caso esse ocorre, a integral é
), mas não é o nosso caso.
Passo 4
Aplicar a linearidade e separar a integral:
Passo 5
Integrar o primeiro termo usando a regra da potência com
:
Calcular os expoentes e o denominador:
logo
Passo 6
Integrar o segundo termo com
:
Calcular
:
Portanto
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 7
Somando as duas partes (absorvendo
e
numa única constante
), obtemos a primitiva:
Passo 8
Opcional: reescrever
em forma de radical para ficar parecido com o enunciado:
então outra forma da resposta é