Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(\sqrt[3]{x^{2}}+\frac{4}{\sqrt[4]{x^{5}}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\sqrt[3]{x^{2}}+\frac{4}{\sqrt[4]{x^{5}}}\right)\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A integranda é a soma de duas funções; pela propriedade da integral, podemos integrar cada termo separadamente.
  • Devemos observar a região onde a expressão é real: a quarta raiz exige x>0 (além disso x=0 é proibido por estar no denominador). Portanto trabalharemos com x>0.

Passo 2

Converter radicais em potências é o primeiro passo para aplicar a regra de potência da integral. Lembrando que \sqrt[n]{x^{m}} = x^{m/n}. Assim:
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}, \qquad \sqrt[4]{x^{5}} = x^{5/4},
e portanto
\frac{4}{\sqrt[4]{x^{5}}} = 4\,x^{-5/4}.
A integranda fica
x^{2/3} + 4\,x^{-5/4}.

Passo 3

Vou usar duas ideias fundamentais:
  1. Linearidade da integral: \displaystyle \int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  2. Regra da potência para integração: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Atenção: a fórmula não vale para n=-1 (caso esse ocorre, a integral é \ln|x|), mas não é o nosso caso.

Passo 4

Aplicar a linearidade e separar a integral:
\int\left(x^{2/3}+4x^{-5/4}\right)\,dx = \int x^{2/3}\,dx + 4\int x^{-5/4}\,dx.

Passo 5

Integrar o primeiro termo usando a regra da potência com n=\tfrac{2}{3}:
\int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} + C_1.
Calcular os expoentes e o denominador:
(2/3)+1 = \frac{2}{3}+\frac{3}{3}=\frac{5}{3},
logo
\int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C_1 = \frac{3}{5}\,x^{5/3} + C_1.

Passo 6

Integrar o segundo termo com n=-5/4:
\int x^{-5/4}\,dx = \frac{x^{(-5/4)+1}}{(-5/4)+1} + C_2.
Calcular (-5/4)+1:
(-5/4)+1 = \frac{-5+4}{4} = -\frac{1}{4}.
Portanto
\int x^{-5/4}\,dx = \frac{x^{-1/4}}{-1/4} + C_2 = -4\,x^{-1/4} + C_2.
Multiplicando pelo fator 4 que estava fora da integral:
4\int x^{-5/4}\,dx = 4\cdot\big(-4\,x^{-1/4}\big) = -16\,x^{-1/4}.

Passo 7

Somando as duas partes (absorvendo C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva:
\frac{3}{5}\,x^{5/3} - 16\,x^{-1/4} + C.

Passo 8

Opcional: reescrever x^{-1/4} em forma de radical para ficar parecido com o enunciado:
x^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}},
então outra forma da resposta é
\frac{3}{5}\,x^{5/3} - \frac{16}{\sqrt[4]{x}} + C.

Resposta

\frac{3}{5}\,x^{5/3}-16\,x^{-1/4}+C

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