Calcule as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é a soma de três termos:
, e . - Vou assumir que
é uma constante em relação a (o enunciado usa a letra sem especificar; portanto tratamos como parâmetro constante). - O resultado deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) — ou seja, a integral indefinida com uma constante de integração
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a integral é linear. Isso significa duas coisas importantes:
quando
é constante, e
Aplicando essa propriedade ao nosso integrando, podemos separar a integral em três integrais mais simples:
Passo 3
Primeiro termo:
.
Explicação/lembrança: a função exponencial
tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma, isto é,
. Assim a primitiva de
é
.
Usando a linearidade (constante fora da integral):
Passo 4
Segundo termo:
.
Reescrevemos
como potência:
.
Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Simplificando a fração,
Passo 5
Terceiro termo:
.
Como
é constante,
é constante em relação a
. Pela regra da constante multiplicativa:
Passo 6
Agora somamos as três primitivas encontradas e adicionamos a constante de integração
:
Passo 7
Checagem rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos o integrando original.
Derivadas:
Derivadas:
Somando dá exatamente
, confirmação de que está correto.