Calcule as integrais indefinidas.
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{l}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{l}\right)\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é a soma de três termos: \frac{e^{t}}{2}, \sqrt{t} e \frac{1}{l}.
  • Vou assumir que l é uma constante em relação a t (o enunciado usa a letra l sem especificar; portanto tratamos l como parâmetro constante).
  • O resultado deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) — ou seja, a integral indefinida com uma constante de integração C.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a integral é linear. Isso significa duas coisas importantes:
\int \bigl(a\cdot f(t)\bigr)\,dt = a\int f(t)\,dt
quando a é constante, e
\int \bigl(f(t)+g(t)\bigr)\,dt = \int f(t)\,dt + \int g(t)\,dt.
Aplicando essa propriedade ao nosso integrando, podemos separar a integral em três integrais mais simples:
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{l}\right)\,dt = \int \frac{e^{t}}{2}\,dt + \int \sqrt{t}\,dt + \int \frac{1}{l}\,dt.

Passo 3

Primeiro termo: \displaystyle \int \frac{e^{t}}{2}\,dt.
Explicação/lembrança: a função exponencial e^{t} tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma, isto é, \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}. Assim a primitiva de e^{t} é e^{t}.
Usando a linearidade (constante fora da integral):
\int \frac{e^{t}}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int e^{t}\,dt = \frac{1}{2} e^{t}.

Passo 4

Segundo termo: \displaystyle \int \sqrt{t}\,dt.
Reescrevemos \sqrt{t} como potência: \sqrt{t}=t^{1/2}.
Usamos a regra da potência para integrais: para \displaystyle n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{t^{3/2}}{3/2}.
Simplificando a fração,
\frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}t^{3/2}.

Passo 5

Terceiro termo: \displaystyle \int \frac{1}{l}\,dt.
Como l é constante, \frac{1}{l} é constante em relação a t. Pela regra da constante multiplicativa:
\int \frac{1}{l}\,dt = \frac{1}{l}\int 1\,dt = \frac{1}{l}\,t.

Passo 6

Agora somamos as três primitivas encontradas e adicionamos a constante de integração C:
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{l}\right)\,dt = \frac{1}{2}e^{t} + \frac{2}{3}t^{3/2} + \frac{t}{l} + C.

Passo 7

Checagem rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos o integrando original.
Derivadas:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}e^{t}\right)=\frac{1}{2}e^{t}, \qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{2}{3}t^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=t^{1/2}, \qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{l}\right)=\frac{1}{l}.
Somando dá exatamente \frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{l}, confirmação de que está correto.

Resposta

\frac{1}{2}e^{t}+\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{t}{l}+C

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