Exercício 2: Calcule a integral \int \operatorname{sec} ^{3} x d x, seguindo os passos descritos a seguir:
Passo 1: Escreva \operatorname{sec} ^{3} x=\operatorname{sec} ^{2} x \cdot \operatorname{sec} x
Passo 2: Utilize integração por partes, para isso, considere: u=\operatorname{sec} x e d v=\operatorname{sec} ^{2} x d x
Passo 3: Na integral resultante adote: \operatorname{tg}^{2} x=\operatorname{sec} ^{2} x-1 e efetue a multiplicação
Passo 4: Isole o termo \int \operatorname{sec} ^{3} x d x
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{3} x \, dx
As informações/indicações que o enunciado dá e que vamos usar são:
Agora isolamos o termo \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx somando \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx em ambos os lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx.
Passo 6
Falta calcular \displaystyle\int \operatorname{sec} x\,dx. Vamos lembrar um método clássico: multiplicar a integranda por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} para obter uma forma cujo numerador é derivada do denominador. Façamos assim:
Substituímos esse resultado em \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| + C.
Aqui C é a constante de integração (podemos agrupar constantes vindas de passos anteriores em uma única constante).