Exercício 2: Calcule a integral \int \operatorname{sec} ^{3} x d x, seguindo os passos descritos a seguir:
Passo 1: Escreva \operatorname{sec} ^{3} x=\operatorname{sec} ^{2} x \cdot \operatorname{sec} x
Passo 2: Utilize integração por partes, para isso, considere: u=\operatorname{sec} x e d v=\operatorname{sec} ^{2} x d x
Passo 3: Na integral resultante adote: \operatorname{tg}^{2} x=\operatorname{sec} ^{2} x-1 e efetue a multiplicação
Passo 4: Isole o termo \int \operatorname{sec} ^{3} x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{3} x \, dx
As informações/indicações que o enunciado dá e que vamos usar são:
\operatorname{sec}^{3}x=\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec} x,
sugerir-se-á (conforme o enunciado) as escolhas
u=\operatorname{sec} x,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx,
e usar a identidade trigonométrica
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
O enunciado também pede que, depois de manipular, a gente isole o termo \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx.

Passo 2

Escrevemos a integral usando a decomposição indicada:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec} x\,dx.
Isto apenas reorganiza o integrando, deixando pronto para aplicar o próximo passo.

Passo 3

Aplicamos integração por partes com as escolhas fornecidas. Primeiro recorde a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui tomamos
u=\operatorname{sec} x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx=\operatorname{sec} x\tan x\,dx,
dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Rightarrow\quad v=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x.
Substituindo na fórmula:
\int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec} x\,dx = \operatorname{sec} x\cdot\tan x - \int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Portanto obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\,\tan^{2}x\,dx.

Passo 4

Agora usamos a identidade trigonométrica indicada para substituir \tan^{2}x:
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Substituindo em \int \operatorname{sec} x\,\tan^{2}x\,dx obtemos
\int \operatorname{sec} x\,\tan^{2}x\,dx = \int \operatorname{sec} x\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big)\,dx.
Efetuando a multiplicação dentro da integral:
\int \operatorname{sec} x\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big)\,dx = \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx - \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 5

Voltemos à expressão do Passo 3 e substituímos o resultado do Passo 4:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \bigg(\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx - \int \operatorname{sec} x\,dx\bigg).
Distribuindo o sinal negativo:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Agora isolamos o termo \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx somando \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx em ambos os lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 6

Falta calcular \displaystyle\int \operatorname{sec} x\,dx. Vamos lembrar um método clássico: multiplicar a integranda por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} para obter uma forma cujo numerador é derivada do denominador. Façamos assim:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Observe que o numerador é exatamente a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x+\tan x\big)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2}x.
Logo a integral é
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{d(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x} = \ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| + C.

Passo 7

Substituímos esse resultado em \displaystyle\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} x\,dx:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| + C.
Aqui C é a constante de integração (podemos agrupar constantes vindas de passos anteriores em uma única constante).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x+\frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C

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