Exercício 1: Calcule a integral \int \operatorname{cosec}^{6} x d x, seguindo os passos descritos a seguir:
Passo 1: Escreva \operatorname{cosec}^{6} x=\left(\operatorname{cosec}^{2} x\right)^{2} \cdot \operatorname{cosec}^{2} x=\left(\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)^{2} \cdot \operatorname{cosec}^{2} x
Passo 2: Resolva as integrais resultantes do tipo \int \operatorname{cotg}^{n} x \cdot \operatorname{cosec}^{2} x d x por mudança de variável (Faça u=\operatorname{cotg} x, d u=-\operatorname{cosec}^{2} x d x )

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral \displaystyle \int \operatorname{cosec}^{6} x\,dx.
Informações dadas (vou repetir exatamente como pediu para ficar claro):
\operatorname{cosec}^{6} x=\left(\operatorname{cosec}^{2} x\right)^{2}\cdot \operatorname{cosec}^{2} x=\left(\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)^{2}\cdot \operatorname{cosec}^{2} x
E a mudança de variável sugerida para os termos do tipo \displaystyle \int \operatorname{cotg}^{n} x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x\,dx é
u=\operatorname{cotg} x,\qquad du=-\operatorname{cosec}^{2} x\,dx.
Não estou resolvendo nada aqui, apenas listei o pedido e as informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir \left(\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)^{2}. Faço isso para escrever a integral como soma de termos fáceis de integrar:
\left(\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)^{2}=\operatorname{cotg}^{4} x+2\operatorname{cotg}^{2} x+1.
Portanto
\displaystyle \int \operatorname{cosec}^{6} x\,dx=\int\left(\operatorname{cotg}^{4} x+2\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)\operatorname{cosec}^{2} x\,dx.
Agora a ideia é integrar termo a termo. Cada termo tem a forma \operatorname{cotg}^{n} x\cdot\operatorname{cosec}^{2} x, exatamente o caso em que a substituição dada funciona.

Passo 3

Aplico a mudança de variável sugerida. Defino
u=\operatorname{cotg} x,\qquad du=-\operatorname{cosec}^{2} x\,dx.
Explicando a razão: a derivada de \operatorname{cotg} x é \dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg} x=-\operatorname{cosec}^{2} x. Isso quer dizer que -\operatorname{cosec}^{2} x\,dx é exatamente du, então cada integral do tipo \int \operatorname{cotg}^{n} x\cdot\operatorname{cosec}^{2} x\,dx vira um monômio em u vezes du (com sinal menos). Substituindo na integral total:
\begin{aligned} \displaystyle \int \operatorname{cosec}^{6} x\,dx &= \int\left(\operatorname{cotg}^{4} x+2\operatorname{cotg}^{2} x+1\right)\operatorname{cosec}^{2} x\,dx\\[4pt] &= -\int\left(u^{4}+2u^{2}+1\right)du, \end{aligned}
onde usei u=\operatorname{cotg} x e \operatorname{cosec}^{2} x\,dx=-du.]

Passo 4

Agora integro em u termo a termo. Lembre a regra de potência: para k\neq -1,
\int u^{k}\,du=\frac{u^{k+1}}{k+1}+C.
Aplicando:
-\int\left(u^{4}+2u^{2}+1\right)du = -\left(\frac{u^{5}}{5}+2\cdot\frac{u^{3}}{3}+u\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
-\frac{u^{5}}{5}-\frac{2u^{3}}{3}-u + C.

Passo 5

Volto à variável original x usando u=\operatorname{cotg} x. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{\operatorname{cotg}^{5} x}{5}-\frac{2}{3}\operatorname{cotg}^{3} x-\operatorname{cotg} x + C.
Verificação rápida (opcional, mas didática): derivando termo a termo, uso que \dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg}^{m} x = m\operatorname{cotg}^{m-1} x\cdot\dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg} x = m\operatorname{cotg}^{m-1} x\cdot(-\operatorname{cosec}^{2} x). Assim os fatores m cancelam com os denominadores 5,3,1 e aparece exatamente \operatorname{cotg}^{4} x\operatorname{cosec}^{2} x+2\operatorname{cotg}^{2} x\operatorname{cosec}^{2} x+\operatorname{cosec}^{2} x, que recombina para \operatorname{cosec}^{6} x. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\operatorname{cotg}^{5} x}{5}-\dfrac{2}{3}\operatorname{cotg}^{3} x-\operatorname{cotg} x + C

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