Exercício 1: Calcule a integral
, seguindo os passos descritos a seguir:
Passo 1: Escreva
Passo 2: Resolva as integrais resultantes do tipo
por mudança de variável (Faça
)
Passo 1: Escreva
Passo 2: Resolva as integrais resultantes do tipo
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
.
Informações dadas (vou repetir exatamente como pediu para ficar claro):
Informações dadas (vou repetir exatamente como pediu para ficar claro):
E a mudança de variável sugerida para os termos do tipo
é
Não estou resolvendo nada aqui, apenas listei o pedido e as informações fornecidas.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir
. Faço isso para escrever a integral como soma de termos fáceis de integrar:
Portanto
Agora a ideia é integrar termo a termo. Cada termo tem a forma
, exatamente o caso em que a substituição dada funciona.
Passo 3
Aplico a mudança de variável sugerida. Defino
Explicando a razão: a derivada de
é
. Isso quer dizer que
é exatamente
, então cada integral do tipo
vira um monômio em
vezes
(com sinal menos). Substituindo na integral total:
onde usei
e
.]
Passo 4
Agora integro em
termo a termo. Lembre a regra de potência: para
,
Aplicando:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Volto à variável original
usando
. Assim a primitiva encontrada é
Verificação rápida (opcional, mas didática): derivando termo a termo, uso que
. Assim os fatores
cancelam com os denominadores
e aparece exatamente
, que recombina para
. Portanto a primitiva está correta.